Como elaborar um balanço de incerteza de medição: etapas e um exemplo resolvido

O que é um balanço de incertezas

O método vem do Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM, JCGM 100:2008), publicado pelo Comité Conjunto para os Guias em Metrologia (JCGM) e disponível gratuitamente no sítio web do BIPM. O EA-4/02 M:2022, o guia da cooperação europeia para a acreditação sobre a incerteza na calibração, aplica esse método ao trabalho de calibração. Descreve o balanço como uma lista de todas as fontes de incerteza com as respetivas incertezas-padrão e a forma como cada uma foi avaliada, e recomenda apresentá-lo sob a forma de tabela.

Cada linha dessa tabela contém os mesmos elementos: a grandeza de entrada, a sua estimativa, a sua incerteza-padrão, a distribuição de probabilidade assumida, o coeficiente de sensibilidade e a contribuição resultante para a incerteza do resultado. A linha final é a incerteza-padrão combinada. Uma linha adicional multiplica-a pelo fator de expansão para obter a incerteza expandida.

Um balanço pertence a um único processo de medição: um tipo de instrumento, um método, uma gama ou um ponto. Um micrómetro verificado com blocos-padrão e um manómetro verificado com uma balança manométrica precisam de balanços separados, mesmo quando é a mesma pessoa a fazer os dois.

• Calculadora gratuita de balanço de incerteza de medição
• Modelo de balanço de incerteza de medição (Excel)

Quando precisa de um

Um laboratório de calibração que trabalha segundo a ISO/IEC 17025:2017 tem de avaliar a incerteza. A cláusula 7.6.1 exige que o laboratório identifique as contribuições para a incerteza de medição e tenha em conta todas as que forem significativas. A cláusula 7.6.2 exige que um laboratório que realiza calibrações, incluindo as do seu próprio equipamento, avalie a incerteza de medição de todas elas. Um balanço documentado é a forma habitual de demonstrar esse trabalho a um avaliador.

O balanço também alimenta decisões. Quando um laboratório declara a conformidade com uma especificação, a ISO/IEC 17025 pede que a regra de decisão seja definida (cláusula 7.1.3) e comunicada com a declaração (cláusula 7.8.6). As regras de decisão que usam uma banda de segurança retiram a largura desta da incerteza expandida, pelo que o balanço é o dado de partida.

As empresas que não são laboratórios também precisam deste valor. Sem uma incerteza expandida, não é possível calcular o rácio de incerteza de ensaio (TUR), definir uma banda de segurança nem demonstrar que uma calibração interna é suficientemente boa para a tolerância que verifica. Por vezes, os clientes pedem-no diretamente.

• A banda de segurança na calibração

Comece pelo modelo de medição

Escreva o que está a medir e como é calculado o resultado. O GUM chama a isto o modelo, Y = f(X1, X2, ..., XN): a saída Y depende das grandezas de entrada X1 a XN. Cada entrada que pode variar é uma linha candidata no balanço.

Na maioria das calibrações, o modelo é curto. Quando calibra um micrómetro com um bloco-padrão, o resultado é o erro de indicação: a leitura do micrómetro menos o comprimento do bloco-padrão, mais pequenas correções, como uma para a temperatura. Aplique as correções que consegue estimar. A incerteza destas continua no balanço.

Liste as fontes de incerteza

Percorra a medição desde a referência até à leitura. Estas são as fontes habituais numa calibração.

• O padrão de referência. O seu certificado de calibração declara uma incerteza expandida e um fator de expansão. É fácil esquecer este termo, porque o padrão parece ser a verdade.
• A deriva do padrão de referência desde a última calibração, estimada a partir do seu histórico de calibrações.
• A resolução do instrumento a calibrar, e a da referência, se tiver mostrador. Uma leitura digital é arredondada no último dígito.
• A repetibilidade, a partir de leituras repetidas nas mesmas condições.
• A temperatura. O desvio em relação à temperatura de referência e qualquer diferença entre a referência e o item atuam através da dilatação térmica.
• O método e a montagem, como o alinhamento, a força de medição, o ajuste do zero ou o dispositivo de fixação.
• O operador, quando pessoas diferentes obtêm resultados diferentes. Um estudo com vários operadores mede este efeito.
• O comportamento do próprio item durante a medição, como a histerese ou um zero instável.

Avaliação de Tipo A e de Tipo B

O GUM classifica as avaliações pelo método, não pelo tipo de efeito. Uma avaliação de Tipo A usa a análise estatística de uma série de observações. Uma avaliação de Tipo B usa outras informações: um certificado de calibração, uma especificação do fabricante, um valor de manual ou a experiência com o instrumento. Ambas produzem uma incerteza-padrão, que corresponde a um desvio-padrão, e o balanço combina-as da mesma forma.

Para o Tipo A, faça n leituras repetidas e calcule o desvio-padrão experimental s. Se o resultado que declara é a média dessas n leituras, a sua incerteza-padrão é s / √n (GUM 4.2.3). Se o resultado é uma única leitura, use o próprio s. Os graus de liberdade são n − 1.

Para o Tipo B, converta o que a fonte fornece num desvio-padrão. Um certificado que declara U = 0,10 µm com k = 2 dá uma incerteza-padrão de 0,10 / 2 = 0,05 µm. A NIST Technical Note 1297 indica a mesma regra: divida uma incerteza declarada pelo multiplicador com que foi declarada. Uma fonte que dá apenas limites de ±a precisa de um divisor que depende da distribuição que assume.

• Calculadora de incerteza de Tipo A

Distribuições e divisores

Quando uma fonte dá limites de ±a em vez de um desvio-padrão, a incerteza-padrão é a dividido por um fator. O fator depende da forma como os valores possíveis tendem a distribuir-se entre os limites.

• Calculadora de incerteza de resolução

Coeficientes de sensibilidade

As entradas vêm muitas vezes em unidades diferentes das do resultado. Uma temperatura chega em °C, enquanto o resultado está em µm. O coeficiente de sensibilidade c indica quanto o resultado varia por unidade de variação de uma entrada, pelo que cada contribuição é c × u. No GUM, é a derivada parcial do modelo em relação a essa entrada (cláusula 5.1.3).

Quando o modelo é uma simples soma ou diferença, todos os coeficientes são 1 ou −1 e as unidades já coincidem. Para um efeito da temperatura sobre o comprimento, o coeficiente é o comprimento multiplicado pelo coeficiente de dilatação. Uma peça de aço de 25 mm com um coeficiente de dilatação de 11,5 × 10⁻⁶ por °C varia 25 mm × 11,5 × 10⁻⁶ = 0,2875 µm por °C.

Combinar as contribuições: raiz da soma dos quadrados

Para entradas independentes, a incerteza-padrão combinada é a raiz quadrada da soma dos quadrados das contribuições: u_c = √((c1 × u1)² + (c2 × u2)² + ... + (cN × uN)²). É a lei de propagação da incerteza do GUM para entradas não correlacionadas (cláusula 5.1.2).

Elevar ao quadrado faz com que os termos grandes dominem. Uma contribuição com um terço do tamanho da maior aumenta o total em apenas cerca de 5%. O esforço para reduzir o maior termo compensa muito mais do que o esforço gasto nos pequenos.

A fórmula assume que as entradas não estão correlacionadas. Quando duas entradas variam em conjunto, por exemplo porque ambas foram medidas com o mesmo padrão de referência ou com o mesmo termómetro, o GUM acrescenta termos de covariância (cláusula 5.2). O EA-4/02 observa que uma escolha diferente do modelo pode, por vezes, eliminar a correlação.

Graus de liberdade efetivos e o fator de expansão k

A incerteza expandida é U = k × u_c (GUM 6.2.1). O habitual k = 2 dá uma probabilidade de expansão de cerca de 95% apenas em duas condições. O resultado combinado tem de estar próximo de uma distribuição normal, o que acontece quando se combinam várias contribuições de dimensão comparável. E u_c tem de ser fiável, o que significa que os seus graus de liberdade efetivos são elevados. A abordagem simplificada do GUM pede mais de cerca de 10 (G.6.6). O EA-4/02 considera a condição de fiabilidade cumprida quando nenhuma contribuição de Tipo A provém de menos de dez leituras repetidas.

Quando um termo de Tipo A obtido a partir de poucas leituras tem um peso grande no balanço, estime os graus de liberdade efetivos com a fórmula de Welch-Satterthwaite (GUM G.4.1): ν_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / ν_i). Cada termo de Tipo A tem ν = n − 1. A um termo de Tipo B cujos limites foram definidos de modo a que valores fora deles sejam muito improváveis atribuem-se normalmente infinitos graus de liberdade, pelo que sai da soma (GUM G.4.3).

Depois, leia k na distribuição t para 95,45%, a probabilidade de expansão que k = 2 dá para uma distribuição normal. Se ν_eff não for um número inteiro, trunque-o para o inteiro imediatamente inferior.

• Calculadora de graus de liberdade efetivos de Welch-Satterthwaite

Exemplo resolvido: um micrómetro a 25 mm

Um micrómetro digital de 0 a 25 mm, com resolução de 0,001 mm, é calibrado a 25 mm com um bloco-padrão de aço. O certificado do bloco indica o seu comprimento como 25,0000 mm, com uma incerteza expandida de 0,10 µm para k = 2. O técnico faz três leituras: 25,001, 25,002 e 25,001 mm. A média é 25,0013 mm, pelo que o erro de indicação é +1,3 µm. Depois do manuseamento, o bloco e o micrómetro podem ter uma diferença de temperatura de até ±1 °C.

• Incerteza-padrão combinada: u_c = √(0,050² + 0,289² + 0,333² + 0,166²) = √0,2245 = 0,474 µm.
• A repetibilidade responde por cerca de metade da variância, a resolução por 37%, a temperatura por 12% e o bloco-padrão por cerca de 1%.
• Graus de liberdade efetivos: ν_eff = 0,474⁴ / (0,333⁴ / 2) = 8,2. Os outros termos têm infinitos graus de liberdade e saem da soma.
• Fator de expansão: trunque 8,2 para 8, pelo que k = 2,37 segundo a tabela acima.
• Incerteza expandida: U = 2,37 × 0,474 = 1,12 µm. Arredondada por excesso a dois algarismos significativos, como o GUM permite, fica 1,2 µm.
• Resultado: o erro de indicação a 25 mm é +1,3 µm, com U = 1,2 µm (k = 2,37, probabilidade de expansão de cerca de 95%).

Como o balanço alimenta o TUR e a banda de segurança

O rácio de incerteza de ensaio (TUR) compara a tolerância com a incerteza expandida da calibração: TUR = semiamplitude da tolerância ÷ U. Se a tolerância neste ponto for ±3 µm, TUR = 3 ÷ 1,2 = 2,5:1. O rácio de exatidão de ensaio (TAR) usa apenas a exatidão do padrão de referência, pelo que ignora a resolução, a repetibilidade e a temperatura. Neste exemplo, essas três formam quase todo o balanço.

Uma banda de segurança usa o mesmo U. Segundo a regra simples de subtrair a incerteza expandida completa a cada limite de tolerância, os limites de aceitação passam a ser ±(3 − 1,2) = ±1,8 µm. O erro medido de +1,3 µm está dentro deles, pelo que o micrómetro é aprovado segundo essa regra.

O fator de expansão também conta aqui. Com k = 2, o balanço daria U = 0,95 µm e um TUR de 3,2:1, o que faz a medição parecer melhor do que é.

• Calculadora de TUR e TAR
• Banda de segurança e regras de decisão

Erros comuns

• Deixar de fora a incerteza do próprio padrão de referência. O valor no seu certificado também tem incerteza, e essa incerteza passa para cada calibração feita com ele. Muitas vezes é pequena, como no exemplo acima, mas tem de estar no balanço.
• Usar k = 2 com poucas leituras. Quando domina um termo de Tipo A obtido de três ou quatro leituras, k = 2 dá uma probabilidade de expansão bem abaixo de 95%. Calcule primeiro os graus de liberdade efetivos.
• Contar duas vezes a resolução e a repetibilidade, ou eliminar a resolução. As leituras feitas num mostrador já trazem o seu arredondamento, pelo que os dois termos descrevem em parte a mesma coisa. A abordagem do GUM soma os dois. Um estudo do NIST (Phillips, Toman e Estler, 2008) comparou essa abordagem com a regra da ISO 14253-2 de manter apenas o maior dos dois e concluiu que manter apenas o maior pode subestimar a incerteza. Escolha uma regra, escreva-a no seu procedimento e aplique-a sempre. Nunca elimine a resolução quando as leituras repetidas forem todas idênticas, porque o termo de Tipo A é então zero e nada mais representa o arredondamento (GUM F.2.2.1).
• Dividir por √n quando declara uma única leitura. s / √n é a incerteza de uma média. Se o resultado declarado é uma leitura, o termo de repetibilidade é s.
• Misturar unidades ou níveis de confiança. Converta cada valor de certificado numa incerteza-padrão antes de combinar e exprima cada contribuição nas unidades do resultado.

Onde entra o Axiospec

O Axiospec é um software de gestão de calibrações. Regista cada calibração com as leituras antes do ajuste e após o ajuste, o certificado e a data de vencimento. Pode também guardar um balanço de incertezas para cada instrumento e usá-lo no TUR quando uma calibração não declara uma incerteza própria. Elaborar o balanço e avaliá-lo continua a caber-lhe a si.