So erstellen Sie ein Messunsicherheitsbudget: Schritte und ein Rechenbeispiel

Was ein Messunsicherheitsbudget ist

Die Methode stammt aus dem Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM, JCGM 100:2008). Herausgeber ist das Joint Committee for Guides in Metrology, und das Dokument steht kostenlos auf der Website des BIPM. EA-4/02 M:2022, der europäische Akkreditierungsleitfaden zur Messunsicherheit bei Kalibrierungen, wendet den GUM auf die Kalibrierung an. Er beschreibt das Budget, in der deutschen Fassung Messunsicherheitsbilanz genannt, als Liste aller Unsicherheitsquellen mit ihren Standardmessunsicherheiten und der Art, wie jede ermittelt wurde, und empfiehlt die Darstellung als Tabelle.

Jede Zeile dieser Tabelle enthält dieselben Angaben: die Eingangsgröße, ihren Schätzwert, ihre Standardmessunsicherheit, die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung, den Sensitivitätskoeffizienten und den daraus folgenden Beitrag zur Unsicherheit des Ergebnisses. Die Summenzeile ist die kombinierte Standardmessunsicherheit. Eine weitere Zeile multipliziert sie mit dem Erweiterungsfaktor und ergibt die erweiterte Messunsicherheit.

Ein Budget gehört zu genau einem Messprozess: einer Art von Messgerät, einem Verfahren, einem Bereich oder Messpunkt. Eine Bügelmessschraube, die gegen Endmaße geprüft wird, und ein Manometer, das gegen eine Druckwaage geprüft wird, brauchen getrennte Budgets, auch wenn dieselbe Person beides macht.

• Kostenloser Rechner für das Messunsicherheitsbudget
• Vorlage für das Messunsicherheitsbudget (Excel)

Wann Sie eines brauchen

Ein Kalibrierlaboratorium, das nach ISO/IEC 17025:2017 arbeitet, muss die Messunsicherheit ermitteln. Abschnitt 7.6.1 verlangt, dass das Labor die Beiträge zur Messunsicherheit identifiziert und alle signifikanten berücksichtigt. Abschnitt 7.6.2 verlangt von einem Labor, das Kalibrierungen durchführt, auch Kalibrierungen seiner eigenen Ausrüstung, die Messunsicherheit für alle diese Kalibrierungen zu ermitteln. Ein dokumentiertes Budget ist der übliche Weg, diese Arbeit einem Begutachter zu zeigen.

Das Budget fließt auch in Entscheidungen ein. Wenn ein Labor die Konformität mit einer Spezifikation erklärt, verlangt ISO/IEC 17025, dass die Entscheidungsregel festgelegt (Abschnitt 7.1.3) und mit der Aussage berichtet wird (Abschnitt 7.8.6). Entscheidungsregeln, die mit einem Sicherheitsband arbeiten, beziehen dessen Breite aus der erweiterten Messunsicherheit. Damit ist das Budget die Eingangsgröße.

Auch Betriebe, die keine Labore sind, brauchen diese Zahl. Ohne erweiterte Messunsicherheit können Sie kein Prüfunsicherheitsverhältnis (TUR) berechnen, kein Sicherheitsband festlegen und nicht zeigen, dass eine interne Kalibrierung für die geprüfte Toleranz gut genug ist. Kunden fragen manchmal direkt danach.

• Das Sicherheitsband in der Kalibrierung

Beginnen Sie mit dem Modell der Messung

Schreiben Sie auf, was Sie messen und wie das Ergebnis berechnet wird. Der GUM nennt das die Modellfunktion, Y = f(X1, X2, ..., XN): Die Ergebnisgröße Y hängt von den Eingangsgrößen X1 bis XN ab. Jede Eingangsgröße, die schwanken kann, ist ein Kandidat für eine Zeile im Budget.

Bei den meisten Kalibrierungen ist das Modell kurz. Kalibrieren Sie eine Bügelmessschraube gegen ein Endmaß, ist das Ergebnis die Messabweichung der Anzeige: die Anzeige der Messschraube minus die Länge des Endmaßes, plus kleine Korrektionen wie eine für die Temperatur. Bringen Sie die Korrektionen an, die Sie abschätzen können. Ihre Unsicherheit bleibt im Budget.

Die Unsicherheitsquellen auflisten

Gehen Sie die Messung vom Normal bis zur Anzeige durch. Das sind die üblichen Quellen bei einer Kalibrierung.

• Das Bezugsnormal. Sein Kalibrierschein gibt eine erweiterte Messunsicherheit und einen Erweiterungsfaktor an. Dieser Beitrag wird leicht vergessen, weil sich das Normal wie die Wahrheit anfühlt.
• Die Drift des Bezugsnormals seit seiner letzten Kalibrierung, abgeschätzt aus seiner Kalibrierhistorie.
• Die Auflösung des kalibrierten Messgeräts und, falls es eine Anzeige hat, auch die des Normals. Eine digitale Anzeige wird auf ihre letzte Stelle gerundet.
• Die Wiederholbarkeit, aus wiederholten Ablesungen unter gleichen Bedingungen.
• Die Temperatur. Die Abweichung von der Bezugstemperatur und ein Temperaturunterschied zwischen Normal und Prüfling wirken über die Wärmeausdehnung.
• Das Verfahren und der Aufbau, etwa Ausrichtung, Messkraft, Nullstellung oder Aufnahme.
• Der Bediener, wenn verschiedene Personen verschiedene Ergebnisse erhalten. Eine Untersuchung mit mehreren Bedienern erfasst das.
• Das Verhalten des Prüflings selbst während der Messung, etwa Hysterese oder ein instabiler Nullpunkt.

Ermittlung nach Typ A und Typ B

Der GUM unterscheidet die Ermittlung nach der Methode, nicht nach der Art des Effekts. Eine Ermittlung nach Typ A nutzt die statistische Auswertung einer Messreihe. Eine Ermittlung nach Typ B nutzt andere Informationen: einen Kalibrierschein, eine Herstellerspezifikation, einen Tabellenwert aus einem Handbuch oder Erfahrung mit dem Gerät. Die deutsche Fassung von EA-4/02 spricht von Ermittlungsmethode A und B. Beide liefern eine Standardmessunsicherheit, also eine Standardabweichung, und das Budget kombiniert sie auf dieselbe Weise.

Für Typ A nehmen Sie n Wiederholungsablesungen auf und berechnen deren empirische Standardabweichung s. Ist das berichtete Ergebnis der Mittelwert dieser n Ablesungen, beträgt seine Standardmessunsicherheit s / √n (GUM 4.2.3). Ist das Ergebnis eine einzelne Ablesung, verwenden Sie s selbst. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist n − 1.

Für Typ B rechnen Sie die Angabe der Quelle in eine Standardabweichung um. Ein Kalibrierschein mit U = 0,10 µm bei k = 2 ergibt eine Standardmessunsicherheit von 0,10 / 2 = 0,05 µm. Die NIST Technical Note 1297 nennt dieselbe Regel: Teilen Sie eine angegebene Unsicherheit durch den Faktor, mit dem sie angegeben wurde. Eine Quelle, die nur Grenzen von ±a nennt, braucht einen Divisor, der von der angenommenen Verteilung abhängt.

• Rechner für die Unsicherheit vom Typ A

Verteilungen und Divisoren

Nennt eine Quelle Grenzen von ±a statt einer Standardabweichung, ist die Standardmessunsicherheit a geteilt durch einen Faktor. Der Faktor hängt davon ab, wie sich die möglichen Werte voraussichtlich zwischen den Grenzen verteilen.

• Rechner für die Auflösungsunsicherheit

Sensitivitätskoeffizienten

Eingangsgrößen haben oft andere Einheiten als das Ergebnis. Eine Temperatur liegt in °C vor, das Ergebnis in µm. Der Sensitivitätskoeffizient c gibt an, wie stark sich das Ergebnis je Einheit Änderung einer Eingangsgröße ändert, sodass jeder Beitrag c × u ist. Im GUM ist er die partielle Ableitung der Modellfunktion nach dieser Eingangsgröße (Abschnitt 5.1.3).

Ist das Modell eine einfache Summe oder Differenz, ist jeder Koeffizient 1 oder −1, und die Einheiten passen bereits. Für einen Temperatureinfluss auf eine Länge ist der Koeffizient das Produkt aus Länge und Ausdehnungskoeffizient. Ein 25 mm langes Stahlteil mit einem Ausdehnungskoeffizienten von 11,5 × 10⁻⁶ je °C ändert sich um 25 mm × 11,5 × 10⁻⁶ = 0,2875 µm je °C.

Beiträge kombinieren: Wurzel aus der Quadratsumme

Für unabhängige Eingangsgrößen ist die kombinierte Standardmessunsicherheit die Wurzel aus der Summe der quadrierten Beiträge: u_c = √((c1 × u1)² + (c2 × u2)² + ... + (cN × uN)²). Das ist das Gesetz der Unsicherheitsfortpflanzung des GUM für unkorrelierte Eingangsgrößen (Abschnitt 5.1.2).

Durch das Quadrieren dominieren die großen Beiträge. Ein Beitrag, der ein Drittel so groß ist wie der größte, erhöht die Summe nur um etwa 5 Prozent. Aufwand, der den größten Beitrag verkleinert, lohnt sich weit mehr als Aufwand bei den kleinen.

Die Formel setzt unkorrelierte Eingangsgrößen voraus. Ändern sich zwei Eingangsgrößen gemeinsam, etwa weil beide mit demselben Bezugsnormal oder demselben Thermometer gemessen wurden, fügt der GUM Kovarianzterme hinzu (Abschnitt 5.2). EA-4/02 weist darauf hin, dass eine andere Wahl der Modellfunktion die Korrelation manchmal beseitigen kann.

Effektive Freiheitsgrade und der Erweiterungsfaktor k

Die erweiterte Messunsicherheit ist U = k × u_c (GUM 6.2.1). Das übliche k = 2 ergibt nur unter zwei Bedingungen eine Überdeckung von etwa 95 Prozent. Das kombinierte Ergebnis muss annähernd normalverteilt sein. Das trifft zu, wenn mehrere Beiträge vergleichbarer Größe kombiniert werden. Und u_c muss zuverlässig sein, das heißt, seine effektiven Freiheitsgrade müssen groß sein. Der vereinfachte Ansatz des GUM verlangt mehr als etwa 10 (G.6.6). EA-4/02 sieht die Bedingung der Zuverlässigkeit als erfüllt an, wenn kein Beitrag nach Typ A aus weniger als zehn wiederholten Ablesungen stammt.

Trägt ein Beitrag nach Typ A aus wenigen Ablesungen einen großen Teil des Budgets, schätzen Sie die effektiven Freiheitsgrade mit der Welch-Satterthwaite-Formel (GUM G.4.1): ν_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / ν_i). Jeder Beitrag nach Typ A hat ν = n − 1. Einem Beitrag nach Typ B, dessen Grenzen so gewählt wurden, dass Werte außerhalb sehr unwahrscheinlich sind, gibt man üblicherweise unendlich viele Freiheitsgrade. Er fällt damit aus der Summe heraus (GUM G.4.3).

Lesen Sie dann k aus der t-Verteilung für 95,45 Prozent ab, die Überdeckung, die k = 2 bei einer Normalverteilung liefert. Ist ν_eff keine ganze Zahl, runden Sie auf die nächstkleinere ganze Zahl ab.

• Welch-Satterthwaite-Rechner für effektive Freiheitsgrade

Rechenbeispiel: eine Bügelmessschraube bei 25 mm

Eine digitale Bügelmessschraube für 0 bis 25 mm mit einem Ziffernschritt von 0,001 mm wird bei 25 mm gegen ein Endmaß aus Stahl kalibriert. Der Kalibrierschein des Endmaßes gibt seine Länge mit 25,0000 mm und einer erweiterten Messunsicherheit von 0,10 µm bei k = 2 an. Der Techniker nimmt drei Ablesungen auf: 25,001, 25,002 und 25,001 mm. Ihr Mittelwert ist 25,0013 mm, die Messabweichung der Anzeige beträgt also +1,3 µm. Nach dem Hantieren können sich Endmaß und Messschraube in der Temperatur um bis zu ±1 °C unterscheiden.

• Kombinierte Standardmessunsicherheit: u_c = √(0,050² + 0,289² + 0,333² + 0,166²) = √0,2245 = 0,474 µm.
• Die Wiederholbarkeit trägt etwa die Hälfte der Varianz, die Auflösung 37 Prozent, die Temperatur 12 Prozent und das Endmaß etwa 1 Prozent.
• Effektive Freiheitsgrade: ν_eff = 0,474⁴ / (0,333⁴ / 2) = 8,2. Die übrigen Beiträge haben unendlich viele Freiheitsgrade und fallen heraus.
• Erweiterungsfaktor: 8,2 wird auf 8 abgerundet, also k = 2,37 aus der Tabelle oben.
• Erweiterte Messunsicherheit: U = 2,37 × 0,474 = 1,12 µm. Auf zwei signifikante Stellen aufgerundet, wie es der GUM zulässt, sind das 1,2 µm.
• Ergebnis: Die Messabweichung der Anzeige bei 25 mm beträgt +1,3 µm mit U = 1,2 µm (k = 2,37, Überdeckung etwa 95 Prozent).

Wie das Budget in TUR und Sicherheitsband einfließt

Das Prüfunsicherheitsverhältnis vergleicht die Toleranz mit der erweiterten Messunsicherheit der Kalibrierung: TUR = halbe Toleranzbreite ÷ U. Beträgt die Toleranz an diesem Punkt ±3 µm, ist TUR = 3 ÷ 1,2 = 2,5:1. Das Prüfgenauigkeitsverhältnis (TAR) berücksichtigt nur die Genauigkeit des Bezugsnormals und übersieht deshalb Auflösung, Wiederholbarkeit und Temperatur. In diesem Beispiel machen diese drei fast das ganze Budget aus.

Ein Sicherheitsband nutzt dasselbe U. Nach der einfachen Regel, von jeder Toleranzgrenze die volle erweiterte Messunsicherheit abzuziehen, werden die Annahmegrenzen zu ±(3 − 1,2) = ±1,8 µm. Die gemessene Abweichung von +1,3 µm liegt innerhalb dieser Grenzen, die Messschraube besteht also nach dieser Regel.

Auch hier zählt der Erweiterungsfaktor. Mit k = 2 ergäbe das Budget U = 0,95 µm und ein TUR von 3,2:1, und die Messung sähe besser aus, als sie ist.

• TUR- und TAR-Rechner
• Sicherheitsband und Entscheidungsregeln

Häufige Fehler

• Die eigene Unsicherheit des Bezugsnormals weglassen. Auch der Wert auf seinem Kalibrierschein ist unsicher, und diese Unsicherheit geht in jede Kalibrierung ein, die mit ihm durchgeführt wird. Sie ist oft klein, wie im Beispiel oben, muss aber im Budget stehen.
• k = 2 bei nur wenigen Ablesungen verwenden. Dominiert ein Beitrag nach Typ A aus drei oder vier Ablesungen, ergibt k = 2 deutlich weniger als 95 Prozent Überdeckung. Bestimmen Sie zuerst die effektiven Freiheitsgrade.
• Auflösung und Wiederholbarkeit doppelt zählen oder die Auflösung weglassen. Ablesungen an einer Anzeige enthalten deren Rundung bereits, die beiden Beiträge beschreiben also teilweise dasselbe. Der Ansatz des GUM addiert beide. Eine Studie des NIST (Phillips, Toman und Estler, 2008) hat ihn mit der Regel aus ISO 14253-2 verglichen, nur den größeren Beitrag zu behalten, und festgestellt, dass diese Regel die Unsicherheit unterschätzen kann. Wählen Sie eine Regel, schreiben Sie sie in Ihr Verfahren und wenden Sie sie jedes Mal an. Lassen Sie die Auflösung nie weg, wenn alle Wiederholungsablesungen gleich sind. Dann ist der Beitrag nach Typ A null, und nichts anderes bildet die Rundung ab (GUM F.2.2.1).
• Durch √n teilen, obwohl Sie eine einzelne Ablesung berichten. s / √n ist die Unsicherheit eines Mittelwerts. Ist das berichtete Ergebnis eine einzelne Ablesung, ist der Beitrag der Wiederholbarkeit s.
• Einheiten oder Vertrauensniveaus mischen. Rechnen Sie jeden Wert aus einem Kalibrierschein vor dem Kombinieren in eine Standardmessunsicherheit um, und drücken Sie jeden Beitrag in der Einheit des Ergebnisses aus.

Wo Axiospec hineinpasst

Axiospec ist Software für das Kalibriermanagement. Sie erfasst jede Kalibrierung mit den Messwerten vor und nach der Justierung, dem Kalibrierschein und dem Fälligkeitsdatum. Sie kann außerdem für jedes Messgerät ein Messunsicherheitsbudget speichern und es für das Prüfunsicherheitsverhältnis (TUR) verwenden, wenn eine Kalibrierung selbst keine Unsicherheit angibt. Das Budget aufzustellen und zu beurteilen, bleibt Ihre Aufgabe.