Comment établir un bilan d'incertitude de mesure : étapes et exemple chiffré

Ce qu'est un bilan d'incertitude

La méthode vient du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure (GUM, JCGM 100:2008), publié par le Comité commun pour les guides en métrologie et téléchargeable gratuitement sur le site du BIPM. L'EA-4/02 M:2022, le guide de la coopération européenne pour l'accréditation sur l'incertitude en étalonnage, l'applique aux travaux d'étalonnage. Il décrit le bilan comme la liste de toutes les sources d'incertitude, avec leurs incertitudes-types et la manière dont chacune a été évaluée, et recommande de le présenter sous forme de tableau.

Chaque ligne du tableau comporte les mêmes éléments : la grandeur d'entrée, son estimation, son incertitude-type, la loi de probabilité retenue, le coefficient de sensibilité et la contribution qui en résulte à l'incertitude du résultat. La dernière ligne donne l'incertitude-type composée. Une ligne de plus la multiplie par le facteur d'élargissement pour obtenir l'incertitude élargie.

Un bilan correspond à un seul processus de mesure : un type d'instrument, une méthode, une étendue ou un point. Un micromètre contrôlé avec des cales étalons et un manomètre contrôlé avec une balance manométrique demandent deux bilans distincts, même quand la même personne fait les deux.

• Calculateur de bilan d'incertitude de mesure gratuit
• Modèle de bilan d'incertitude (Excel)

Quand il vous en faut un

Un laboratoire d'étalonnage qui travaille selon l'ISO/IEC 17025:2017 doit évaluer l'incertitude. L'article 7.6.1 lui impose d'identifier les contributions à l'incertitude de mesure et de prendre en compte toutes celles qui sont significatives. L'article 7.6.2 impose à un laboratoire qui réalise des étalonnages, y compris de ses propres équipements, d'évaluer l'incertitude de mesure pour chacun d'eux. Un bilan documenté est le moyen habituel de montrer ce travail à un évaluateur.

Le bilan alimente aussi les décisions. Quand un laboratoire déclare la conformité à une spécification, l'ISO/IEC 17025 demande que la règle de décision soit définie (article 7.1.3) et indiquée avec la déclaration (article 7.8.6). Les règles de décision qui utilisent une bande de garde en tirent la largeur de l'incertitude élargie : le bilan en est donc la donnée d'entrée.

Les ateliers qui ne sont pas des laboratoires ont eux aussi besoin de ce chiffre. Sans incertitude élargie, impossible de calculer un TUR (rapport entre la tolérance et l'incertitude), de fixer une bande de garde ou de montrer qu'un étalonnage fait en interne est assez bon pour la tolérance qu'il contrôle. Les clients le demandent parfois directement.

• Comprendre la bande de garde en étalonnage

Commencer par le modèle de mesure

Écrivez ce que vous mesurez et comment le résultat est calculé. Le GUM appelle cela le modèle, Y = f(X1, X2, ..., XN) : la grandeur de sortie Y dépend des grandeurs d'entrée X1 à XN. Chaque grandeur d'entrée susceptible de varier est une ligne candidate du bilan.

Pour la plupart des étalonnages, le modèle est court. Quand vous étalonnez un micromètre avec une cale étalon, le résultat est l'erreur d'indication : la lecture du micromètre moins la longueur de la cale, plus de petites corrections, par exemple pour la température. Appliquez les corrections que vous pouvez estimer. Leur incertitude reste dans le bilan.

Recenser les sources d'incertitude

Parcourez le mesurage de la référence jusqu'à la lecture. Voici les sources habituelles dans un étalonnage.

• L'étalon de référence. Son certificat d'étalonnage indique une incertitude élargie et un facteur d'élargissement. Ce terme est facile à oublier, car l'étalon semble être la vérité.
• La dérive de l'étalon de référence depuis son dernier étalonnage, estimée à partir de son historique d'étalonnage.
• La résolution de l'instrument étalonné, et celle de la référence si elle a un afficheur. Une lecture numérique est arrondie à son dernier chiffre.
• La répétabilité, tirée de lectures répétées dans les mêmes conditions.
• La température. L'écart par rapport à la température de référence, et toute différence entre la référence et l'objet, agissent par la dilatation thermique.
• La méthode et la mise en place, par exemple l'alignement, la force de mesure, le réglage du zéro ou le montage.
• L'opérateur, quand des personnes différentes obtiennent des résultats différents. Une étude avec plusieurs opérateurs mesure cet effet.
• Le comportement propre de l'objet pendant la mesure, par exemple une hystérésis ou un zéro instable.

Évaluation de type A et de type B

Le GUM classe les évaluations selon la méthode, pas selon la nature de l'effet. Une évaluation de type A repose sur l'analyse statistique d'une série d'observations. Une évaluation de type B utilise d'autres informations : un certificat d'étalonnage, une spécification du fabricant, une valeur tirée d'un manuel ou l'expérience de l'instrument. Les deux donnent une incertitude-type, c'est-à-dire un écart-type, et le bilan les combine de la même façon.

Pour le type A, faites n lectures répétées et calculez leur écart-type expérimental s. Si le résultat déclaré est la moyenne de ces n lectures, son incertitude-type est s / √n (GUM 4.2.3). Si le résultat est une lecture unique, utilisez s lui-même. Le nombre de degrés de liberté est n − 1.

Pour le type B, convertissez ce que la source vous donne en écart-type. Un certificat qui indique U = 0,10 µm avec k = 2 donne une incertitude-type de 0,10 / 2 = 0,05 µm. La NIST Technical Note 1297 donne la même règle : divisez une incertitude annoncée par le multiplicateur avec lequel elle a été donnée. Une source qui ne donne que des limites de ±a demande un diviseur qui dépend de la loi de distribution que vous retenez.

• Calculateur d'incertitude de Type A

Lois de distribution et diviseurs

Quand une source donne des limites de ±a au lieu d'un écart-type, l'incertitude-type vaut a divisé par un facteur. Ce facteur dépend de la façon dont les valeurs possibles se répartissent probablement entre les limites.

• Calculateur d'incertitude de résolution

Coefficients de sensibilité

Les grandeurs d'entrée ne sont souvent pas exprimées dans la même unité que le résultat. Une température arrive en °C alors que le résultat est en µm. Le coefficient de sensibilité c indique de combien le résultat varie pour une variation unitaire d'une grandeur d'entrée, si bien que chaque contribution vaut c × u. Dans le GUM, c'est la dérivée partielle du modèle par rapport à cette grandeur (article 5.1.3).

Quand le modèle est une simple somme ou différence, chaque coefficient vaut 1 ou −1 et les unités concordent déjà. Pour un effet de température sur une longueur, le coefficient est la longueur multipliée par le coefficient de dilatation. Une pièce en acier de 25 mm, avec un coefficient de dilatation de 11,5 × 10⁻⁶ par °C, varie de 25 mm × 11,5 × 10⁻⁶ = 0,2875 µm par °C.

Combiner les contributions : la racine de la somme des carrés

Pour des grandeurs d'entrée indépendantes, l'incertitude-type composée est la racine carrée de la somme des carrés des contributions : u_c = √((c1 × u1)² + (c2 × u2)² + ... + (cN × uN)²). C'est la loi de propagation de l'incertitude du GUM pour des grandeurs d'entrée non corrélées (article 5.1.2).

L'élévation au carré fait dominer les termes les plus grands. Une contribution égale au tiers de la plus grande n'augmente le total que d'environ 5 %. L'effort consacré à réduire le terme le plus grand rapporte bien plus que celui consacré aux petits.

La formule suppose que les grandeurs d'entrée ne sont pas corrélées. Quand deux grandeurs varient ensemble, par exemple parce qu'elles ont été mesurées avec le même étalon de référence ou le même thermomètre, le GUM ajoute des termes de covariance (article 5.2). L'EA-4/02 note qu'un autre choix de modèle permet parfois de supprimer la corrélation.

Degrés de liberté effectifs et facteur d'élargissement k

L'incertitude élargie vaut U = k × u_c (GUM 6.2.1). Le k = 2 habituel ne donne une probabilité de couverture d'environ 95 % qu'à deux conditions. Le résultat composé doit être proche d'une loi normale, ce qui est le cas quand on combine plusieurs contributions de taille comparable. Et u_c doit être fiable, c'est-à-dire que ses degrés de liberté effectifs doivent être nombreux. L'approche simplifiée du GUM demande plus de 10 environ (G.6.6). L'EA-4/02 considère la condition de fiabilité comme remplie quand aucune contribution de type A ne provient de moins de dix lectures répétées.

Quand un terme de type A tiré de quelques lectures pèse lourd dans le bilan, estimez les degrés de liberté effectifs avec la formule de Welch-Satterthwaite (GUM G.4.1) : ν_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / ν_i). Chaque terme de type A a ν = n − 1. Un terme de type B dont les limites ont été choisies de sorte que des valeurs au-delà soient très improbables reçoit en général un nombre infini de degrés de liberté, et il sort donc de la somme (GUM G.4.3).

Lisez ensuite k dans la loi de Student à 95,45 %, la couverture que donne k = 2 pour une loi normale. Si ν_eff n'est pas un nombre entier, tronquez-le à l'entier inférieur.

• Calculateur Welch-Satterthwaite des degrés de liberté effectifs

Exemple chiffré : un micromètre à 25 mm

Un micromètre numérique de 0 à 25 mm, qui affiche au 0,001 mm, est étalonné à 25 mm avec une cale étalon en acier. Le certificat de la cale indique une longueur de 25,0000 mm avec une incertitude élargie de 0,10 µm pour k = 2. Le technicien fait trois lectures : 25,001, 25,002 et 25,001 mm. Leur moyenne est 25,0013 mm, donc l'erreur d'indication est de +1,3 µm. Après manipulation, la cale et le micromètre peuvent différer en température de ±1 °C au maximum.

• Incertitude-type composée : u_c = √(0,050² + 0,289² + 0,333² + 0,166²) = √0,2245 = 0,474 µm.
• La répétabilité représente environ la moitié de la variance, la résolution 37 %, la température 12 % et la cale étalon environ 1 %.
• Degrés de liberté effectifs : ν_eff = 0,474⁴ / (0,333⁴ / 2) = 8,2. Les autres termes ont un nombre infini de degrés de liberté et sortent de la somme.
• Facteur d'élargissement : on tronque 8,2 à 8, donc k = 2,37 d'après le tableau ci-dessus.
• Incertitude élargie : U = 2,37 × 0,474 = 1,12 µm. Arrondie par excès à deux chiffres significatifs, comme le GUM le permet, elle vaut 1,2 µm.
• Résultat : l'erreur d'indication à 25 mm est de +1,3 µm avec U = 1,2 µm (k = 2,37, couverture d'environ 95 %).

Comment le bilan alimente le TUR et la bande de garde

Le TUR compare la tolérance à l'incertitude élargie de l'étalonnage : TUR = demi-tolérance ÷ U. Si la tolérance en ce point est de ±3 µm, TUR = 3 ÷ 1,2 = 2,5:1. Le rapport d'exactitude d'essai (TAR) n'utilise que l'exactitude de l'étalon de référence, et il ignore donc la résolution, la répétabilité et la température. Dans cet exemple, ces trois termes représentent presque tout le bilan.

Une bande de garde utilise le même U. Avec la règle simple qui retranche toute l'incertitude élargie de chaque limite de tolérance, les limites d'acceptation deviennent ±(3 − 1,2) = ±1,8 µm. L'erreur mesurée de +1,3 µm se trouve à l'intérieur, donc le micromètre est accepté selon cette règle.

Le facteur d'élargissement compte aussi ici. Avec k = 2, le bilan donnerait U = 0,95 µm et un TUR de 3,2:1, ce qui fait paraître le mesurage meilleur qu'il ne l'est.

• Calculateur TUR et TAR
• Bande de garde et règles de décision

Les erreurs courantes

• Oublier l'incertitude propre de l'étalon de référence. La valeur de son certificat est elle aussi incertaine, et cette incertitude se transmet à chaque étalonnage fait avec lui. Elle est souvent faible, comme dans l'exemple ci-dessus, mais elle doit figurer dans le bilan.
• Utiliser k = 2 avec seulement quelques lectures. Quand un terme de type A tiré de trois ou quatre lectures domine, k = 2 donne une couverture bien inférieure à 95 %. Calculez d'abord les degrés de liberté effectifs.
• Compter deux fois la résolution et la répétabilité, ou supprimer la résolution. Les lectures relevées sur un afficheur portent déjà son arrondi, si bien que les deux termes décrivent en partie la même chose. L'approche du GUM additionne les deux. Une étude du NIST (Phillips, Toman et Estler, 2008) l'a comparée à la règle de l'ISO 14253-2, qui ne garde que le plus grand des deux termes, et a constaté que ne garder que le plus grand peut sous-estimer l'incertitude. Choisissez une règle, inscrivez-la dans votre procédure et appliquez-la à chaque fois. Ne supprimez jamais la résolution quand les lectures répétées sont toutes identiques : le terme de type A vaut alors zéro et plus rien ne représente l'arrondi (GUM F.2.2.1).
• Diviser par √n alors que vous déclarez une lecture unique. s / √n est l'incertitude d'une moyenne. Si le résultat déclaré est une seule lecture, le terme de répétabilité vaut s.
• Mélanger les unités ou les niveaux de confiance. Convertissez chaque valeur de certificat en incertitude-type avant de combiner, et exprimez chaque contribution dans l'unité du résultat.

La place d'Axiospec

Axiospec est un logiciel de gestion des étalonnages. Il enregistre chaque étalonnage avec ses relevés avant et après ajustage, le certificat et la date d'échéance. Il peut aussi conserver un bilan d'incertitude pour chaque instrument et s'en servir pour le TUR quand un étalonnage n'indique pas sa propre incertitude. L'établissement du bilan et son appréciation restent de votre ressort.