Como montar um balanço de incerteza de medição: etapas e um exemplo resolvido

O que é um balanço de incertezas

O método vem do Guia para a Expressão de Incerteza de Medição (GUM, JCGM 100:2008), publicado pelo Comitê Conjunto para Guias em Metrologia (JCGM) e disponível gratuitamente no site do BIPM. O EA-4/02 M:2022, o guia da cooperação europeia de acreditação sobre incerteza em calibração, aplica esse método ao trabalho de calibração. Ele descreve o balanço como uma lista de todas as fontes de incerteza com as respectivas incertezas-padrão e a forma como cada uma foi avaliada, e recomenda apresentá-lo como uma tabela.

Cada linha dessa tabela traz os mesmos itens: a grandeza de entrada, sua estimativa, sua incerteza-padrão, a distribuição de probabilidade assumida, o coeficiente de sensibilidade e a contribuição resultante para a incerteza do resultado. A linha final é a incerteza-padrão combinada. Mais uma linha a multiplica pelo fator de abrangência para obter a incerteza expandida.

Um balanço pertence a um único processo de medição: um tipo de instrumento, um método, uma faixa ou um ponto. Um micrômetro verificado com blocos-padrão e um manômetro verificado com uma balança de pressão precisam de balanços separados, mesmo quando a mesma pessoa faz os dois.

• Calculadora gratuita de balanço de incerteza de medição
• Modelo de balanço de incerteza de medição (Excel)

Quando você precisa de um

Um laboratório de calibração que trabalha segundo a ISO/IEC 17025:2017 é obrigado a avaliar a incerteza. O item 7.6.1 exige que o laboratório identifique as contribuições para a incerteza de medição e leve em conta todas as que forem significativas. O item 7.6.2 exige que um laboratório que realiza calibrações, incluindo as do seu próprio equipamento, avalie a incerteza de medição de todas elas. Um balanço documentado é a forma usual de mostrar esse trabalho a um avaliador.

O balanço também alimenta decisões. Quando um laboratório declara conformidade com uma especificação, a ISO/IEC 17025 pede que a regra de decisão seja definida (item 7.1.3) e informada junto com a declaração (item 7.8.6). As regras de decisão que usam uma banda de guarda tiram a largura dela da incerteza expandida, então o balanço é o dado de entrada.

Empresas que não são laboratórios também precisam desse número. Sem uma incerteza expandida, você não consegue calcular uma razão de incerteza de teste (TUR), definir uma banda de guarda nem mostrar que uma calibração interna é boa o bastante para a tolerância que ela verifica. Às vezes os clientes pedem esse valor diretamente.

• Banda de guarda na calibração

Comece pelo modelo de medição

Escreva o que você está medindo e como o resultado é calculado. O GUM chama isso de modelo, Y = f(X1, X2, ..., XN): a saída Y depende das grandezas de entrada X1 a XN. Cada entrada que pode variar é uma linha candidata no balanço.

Na maioria das calibrações, o modelo é curto. Quando você calibra um micrômetro com um bloco-padrão, o resultado é o erro de indicação: a leitura do micrômetro menos o comprimento do bloco-padrão, mais pequenas correções, como uma para a temperatura. Aplique as correções que você consegue estimar. A incerteza delas continua no balanço.

Liste as fontes de incerteza

Percorra a medição da referência até a leitura. Estas são as fontes usuais em uma calibração.

• O padrão de referência. O certificado de calibração dele declara uma incerteza expandida e um fator de abrangência. É fácil esquecer esse termo, porque o padrão parece ser a verdade.
• A deriva do padrão de referência desde a última calibração, estimada a partir do histórico de calibrações dele.
• A resolução do instrumento em calibração, e a da referência, se ela tiver mostrador. Uma leitura digital é arredondada no último dígito.
• A repetibilidade, a partir de leituras repetidas nas mesmas condições.
• A temperatura. O desvio em relação à temperatura de referência e qualquer diferença entre a referência e o item atuam por meio da dilatação térmica.
• O método e a montagem, como alinhamento, força de medição, ajuste de zero ou o dispositivo de fixação.
• O operador, quando pessoas diferentes obtêm resultados diferentes. Um estudo com vários operadores mede esse efeito.
• O comportamento do próprio item durante a medição, como histerese ou um zero instável.

Avaliação do Tipo A e do Tipo B

O GUM classifica as avaliações pelo método, não pelo tipo de efeito. Uma avaliação do Tipo A usa a análise estatística de uma série de observações. Uma avaliação do Tipo B usa outras informações: um certificado de calibração, uma especificação do fabricante, um valor de manual ou a experiência com o instrumento. As duas produzem uma incerteza-padrão, que corresponde a um desvio-padrão, e o balanço combina as duas da mesma forma.

Para o Tipo A, faça n leituras repetidas e calcule o desvio-padrão experimental s. Se o resultado que você declara é a média dessas n leituras, a incerteza-padrão dela é s / √n (GUM 4.2.3). Se o resultado é uma única leitura, use o próprio s. Os graus de liberdade são n − 1.

Para o Tipo B, converta o que a fonte fornece em um desvio-padrão. Um certificado que declara U = 0,10 µm com k = 2 dá uma incerteza-padrão de 0,10 / 2 = 0,05 µm. A NIST Technical Note 1297 traz a mesma regra: divida uma incerteza declarada pelo multiplicador com que ela foi declarada. Uma fonte que dá apenas limites de ±a precisa de um divisor que depende da distribuição que você assume.

• Calculadora de incerteza do Tipo A

Distribuições e divisores

Quando uma fonte dá limites de ±a em vez de um desvio-padrão, a incerteza-padrão é a dividido por um fator. O fator depende de como os valores possíveis tendem a se distribuir entre os limites.

• Calculadora de incerteza de resolução

Coeficientes de sensibilidade

As entradas muitas vezes vêm em unidades diferentes das do resultado. Uma temperatura chega em °C, enquanto o resultado está em µm. O coeficiente de sensibilidade c indica quanto o resultado muda por unidade de variação de uma entrada, então cada contribuição é c × u. No GUM, ele é a derivada parcial do modelo em relação a essa entrada (item 5.1.3).

Quando o modelo é uma simples soma ou diferença, todo coeficiente é 1 ou −1 e as unidades já coincidem. Para um efeito da temperatura sobre o comprimento, o coeficiente é o comprimento vezes o coeficiente de dilatação. Uma peça de aço de 25 mm com coeficiente de dilatação de 11,5 × 10⁻⁶ por °C varia 25 mm × 11,5 × 10⁻⁶ = 0,2875 µm por °C.

Como combinar as contribuições: raiz da soma dos quadrados

Para entradas independentes, a incerteza-padrão combinada é a raiz quadrada da soma dos quadrados das contribuições: u_c = √((c1 × u1)² + (c2 × u2)² + ... + (cN × uN)²). Essa é a lei de propagação de incertezas do GUM para entradas não correlacionadas (item 5.1.2).

Elevar ao quadrado faz os termos grandes dominarem. Uma contribuição com um terço do tamanho da maior aumenta o total em apenas cerca de 5%. O esforço para reduzir o maior termo rende muito mais do que o esforço gasto nos pequenos.

A fórmula assume que as entradas não são correlacionadas. Quando duas entradas variam juntas, por exemplo porque as duas foram medidas com o mesmo padrão de referência ou com o mesmo termômetro, o GUM acrescenta termos de covariância (item 5.2). O EA-4/02 observa que uma escolha diferente de modelo às vezes elimina a correlação.

Graus de liberdade efetivos e o fator de abrangência k

A incerteza expandida é U = k × u_c (GUM 6.2.1). O k = 2 usual dá uma abrangência de cerca de 95% apenas sob duas condições. O resultado combinado precisa estar próximo de uma distribuição normal, o que acontece quando várias contribuições de tamanho comparável são combinadas. E u_c precisa ser confiável, o que significa que seus graus de liberdade efetivos são grandes. A abordagem simplificada do GUM pede mais de cerca de 10 (G.6.6). O EA-4/02 considera a condição de confiabilidade atendida quando nenhuma contribuição do Tipo A vem de menos de dez leituras repetidas.

Quando um termo do Tipo A obtido de poucas leituras tem uma parte grande do balanço, estime os graus de liberdade efetivos com a fórmula de Welch-Satterthwaite (GUM G.4.1): ν_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / ν_i). Cada termo do Tipo A tem ν = n − 1. Um termo do Tipo B cujos limites foram definidos de modo que valores fora deles sejam muito improváveis costuma receber infinitos graus de liberdade, e por isso sai da soma (GUM G.4.3).

Depois, leia k na distribuição t a 95,45%, a abrangência que k = 2 dá para uma distribuição normal. Se ν_eff não for um número inteiro, trunque-o para o inteiro imediatamente inferior.

• Calculadora de graus de liberdade efetivos de Welch-Satterthwaite

Exemplo resolvido: um micrômetro em 25 mm

Um micrômetro digital de 0 a 25 mm, com resolução de 0,001 mm, é calibrado em 25 mm com um bloco-padrão de aço. O certificado do bloco dá o comprimento dele como 25,0000 mm, com uma incerteza expandida de 0,10 µm para k = 2. O técnico faz três leituras: 25,001, 25,002 e 25,001 mm. A média é 25,0013 mm, então o erro de indicação é +1,3 µm. Depois do manuseio, o bloco e o micrômetro podem ter uma diferença de temperatura de até ±1 °C.

• Incerteza-padrão combinada: u_c = √(0,050² + 0,289² + 0,333² + 0,166²) = √0,2245 = 0,474 µm.
• A repetibilidade responde por cerca de metade da variância, a resolução por 37%, a temperatura por 12% e o bloco-padrão por cerca de 1%.
• Graus de liberdade efetivos: ν_eff = 0,474⁴ / (0,333⁴ / 2) = 8,2. Os outros termos têm infinitos graus de liberdade e saem da soma.
• Fator de abrangência: trunque 8,2 para 8, então k = 2,37 pela tabela acima.
• Incerteza expandida: U = 2,37 × 0,474 = 1,12 µm. Arredondada para cima com dois algarismos significativos, como o GUM permite, fica 1,2 µm.
• Resultado: o erro de indicação em 25 mm é +1,3 µm, com U = 1,2 µm (k = 2,37, abrangência de cerca de 95%).

Como o balanço alimenta o TUR e a banda de guarda

A razão de incerteza de teste compara a tolerância com a incerteza expandida da calibração: TUR = semiamplitude da tolerância ÷ U. Se a tolerância nesse ponto é ±3 µm, TUR = 3 ÷ 1,2 = 2,5:1. A razão de exatidão de teste (TAR) usa apenas a exatidão do padrão de referência, então deixa de fora a resolução, a repetibilidade e a temperatura. Neste exemplo, essas três formam quase todo o balanço.

Uma banda de guarda usa o mesmo U. Pela regra simples de subtrair a incerteza expandida inteira de cada limite de tolerância, os limites de aceitação passam a ser ±(3 − 1,2) = ±1,8 µm. O erro medido de +1,3 µm está dentro deles, então o micrômetro é aprovado por essa regra.

O fator de abrangência também importa aqui. Com k = 2, o balanço daria U = 0,95 µm e um TUR de 3,2:1, o que faz a medição parecer melhor do que é.

• Calculadora de TUR e TAR
• Banda de guarda e regras de decisão

Erros comuns

• Deixar de fora a incerteza do próprio padrão de referência. O valor no certificado dele também tem incerteza, e essa incerteza passa para cada calibração feita com ele. Muitas vezes ela é pequena, como no exemplo acima, mas precisa estar no balanço.
• Usar k = 2 com poucas leituras. Quando domina um termo do Tipo A obtido de três ou quatro leituras, k = 2 dá uma abrangência bem abaixo de 95%. Calcule primeiro os graus de liberdade efetivos.
• Contar duas vezes a resolução e a repetibilidade, ou descartar a resolução. Leituras tiradas de um mostrador já carregam o arredondamento dele, então os dois termos descrevem em parte a mesma coisa. A abordagem do GUM soma os dois. Um estudo do NIST (Phillips, Toman e Estler, 2008) comparou essa abordagem com a regra da ISO 14253-2 de manter só o maior dos dois e concluiu que manter só o maior pode subestimar a incerteza. Escolha uma regra, escreva-a no seu procedimento e aplique-a sempre. Nunca descarte a resolução quando as leituras repetidas forem todas idênticas, porque o termo do Tipo A é então zero e nada mais representa o arredondamento (GUM F.2.2.1).
• Dividir por √n quando você declara uma única leitura. s / √n é a incerteza de uma média. Se o resultado declarado é uma leitura, o termo de repetibilidade é s.
• Misturar unidades ou níveis de confiança. Converta cada valor de certificado em incerteza-padrão antes de combinar, e expresse cada contribuição nas unidades do resultado.

Onde o Axiospec se encaixa

O Axiospec é um software de gestão de calibração. Ele registra cada calibração com as leituras antes do ajuste e após o ajuste, o certificado e a data de vencimento. Ele também pode guardar um balanço de incertezas para cada instrumento e usá-lo na razão de incerteza de teste quando uma calibração não declara uma incerteza própria. Montar o balanço e julgá-lo continua sendo tarefa sua.