O que é a fórmula de Welch-Satterthwaite?

A fórmula de Welch-Satterthwaite estima os graus de liberdade efetivos de uma incerteza-padrão combinada. É v_eff = u_c^4 a dividir pela soma de u_i^4 / v_i, onde u_c é a incerteza-padrão combinada, cada u_i é a incerteza-padrão de uma componente e cada v_i são os graus de liberdade dessa componente. O objetivo é resumir num único número quantos dados sustentam a incerteza combinada, para que um fator de expansão defensável possa ser lido da distribuição t de Student. Está no GUM (JCGM 100:2008), cláusula G.4.1.

O que são graus de liberdade efetivos, e porque importam?

Os graus de liberdade efetivos descrevem quão bem determinada está a incerteza-padrão combinada. Uma incerteza combinada construída sobretudo a partir de poucas leituras repetidas é menos certa do que uma construída a partir de amostras grandes ou de referências bem caracterizadas, e o valor de Welch-Satterthwaite capta isso. Importa porque o fator de expansão para um dado nível de confiança depende dele: menos graus de liberdade efetivos significam um k maior para a mesma cobertura de 95%. Quando uma ou duas componentes de Tipo A com poucos dados dominam o balanço, v_eff é pequeno e k sobe acima de 2.

Como escolho os graus de liberdade de cada componente?

Uma componente de Tipo A avaliada a partir de n leituras repetidas tem v = n - 1. Uma componente de Tipo B cujo limite é bem conhecido (um passo de resolução, um valor de certificado a um k declarado) é normalmente tomada como tendo graus de liberdade infinitos, para não puxar o valor efetivo para baixo. O GUM, na cláusula G.4.2, dá também uma forma de atribuir um valor finito a uma componente de Tipo B a partir de quão bem conhece a sua própria incerteza, aproximadamente v_i = 1 / (2 vezes a incerteza relativa de u_i ao quadrado). Atribuir estes valores é um juízo que pertence ao seu laboratório; esta ferramenta aplica os números que introduz.

Porque é que o fator de expansão k nem sempre é 2?

Um fator de expansão k = 2 dá cerca de 95% de cobertura só quando a distribuição combinada é aproximadamente normal, o que é razoável quando se combinam muitas componentes comparáveis e os graus de liberdade efetivos são grandes. Quando os graus de liberdade efetivos são pequenos, o resultado combinado segue uma distribuição t de Student com caudas mais pesadas, pelo que é preciso um fator maior para manter 95% de cobertura. À medida que v_eff cresce, o fator t de Student desce em direção ao valor normal 1,960, e é por isso que k é próximo de 2 para balanços bem determinados e mais alto para balanços pobres em dados.

Esta calculadora usa 95% ou 95,45% de confiança?

Usa um nível de confiança bilateral de 95,00%, o valor t de Student t_0.975 por graus de liberdade, que converge para 1,960 à medida que os graus de liberdade efetivos crescem. Alguns exemplos do GUM usam em vez disso um nível de 95,45%, para o qual o fator normal é exatamente 2,000, pelo que os fatores saem ligeiramente maiores. Esta ferramenta declara claramente a convenção de 95% para que a possa comparar com a sua própria política. Se o seu sistema da qualidade fixar um nível diferente, trate o k aqui reportado como o valor bilateral de 95% e não como um substituto da sua regra declarada.

Como é que isto se relaciona com a calculadora de balanço de incertezas?

A calculadora de balanço de incertezas combina as suas componentes por raiz da soma dos quadrados numa incerteza-padrão combinada e expande-a com um fator de expansão à sua escolha, deixando deliberadamente os graus de liberdade de fora. Esta calculadora é esse passo em falta: traga para aqui a incerteza-padrão de cada componente e os seus graus de liberdade para obter os graus de liberdade efetivos e um fator de expansão lido do t de Student, em vez de assumir k = 2. Usadas em conjunto, dão uma incerteza combinada e uma incerteza expandida com um k defensável.

Calculadora de Welch-Satterthwaite

Introduza cada componente de incerteza como uma incerteza-padrão com os seus graus de liberdade e obtenha a incerteza-padrão combinada, os graus de liberdade efetivos, o fator de expansão k a partir do t de Student e a incerteza expandida U. Usa o método de Welch-Satterthwaite do GUM (JCGM 100:2008). Tudo corre no seu navegador. Sem barreira de e-mail e sem registo.

Componentes de incerteza

Introduza cada componente como uma incerteza-padrão u (não um valor expandido) e os seus graus de liberdade. Para um limite de Tipo B bem conhecido, introduza inf nos graus de liberdade.

Introdução de componentes de incerteza: incerteza-padrão e graus de liberdade
Componente	Incerteza-padrão u	Graus de liberdade v (n−1, ou inf)	Remover

As componentes de Tipo A avaliadas a partir de n leituras repetidas têm v = n − 1. As componentes de Tipo B com um limite bem caracterizado são normalmente introduzidas com graus de liberdade infinitos (inf), para não puxarem o valor efetivo para baixo.

Unidades (opcional)

Todas as componentes têm de partilhar as mesmas unidades.

Nível de confiança

95%, bilateral (t de Student, t_0.975)

k converge para 1,960 à medida que os graus de liberdade efetivos crescem.

Resultado

Método: Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008), cláusula G.4. u_c = √(Σ u_i²) para componentes independentes; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i); k = t a 95% bilateral para v_eff (a convergir para 1,960); U = k · u_c. Os graus de liberdade são atribuídos por si; as correlações entre componentes não são modeladas.

Combina componentes para um instrumento real? O Axiospec guarda o balanço de incertezas com o instrumento e usa-o para o TUR quando uma calibração não declara uma incerteza própria.

Acompanhe os seus instrumentos gratuitamente

Graus de liberdade efetivos, em termos simples

Porque é que um k = 2 fixo nem sempre chega

A incerteza expandida é U = k vezes a incerteza-padrão combinada. Com k = 2 esse intervalo cobre cerca de 95% dos resultados, mas só quando a distribuição combinada é próxima da normal, o que se cumpre quando se combinam várias componentes comparáveis e cada uma está bem determinada. Quando o balanço assenta em meia dúzia de leituras repetidas, a própria incerteza combinada é incerta, e o fator de expansão honesto é um pouco maior do que 2. Os graus de liberdade efetivos são a forma como o GUM transforma essa ideia num número.

A fórmula de Welch-Satterthwaite

Cada componente traz os seus próprios graus de liberdade v_i: um termo de Tipo A avaliado a partir de n leituras tem v = n − 1, e um termo de Tipo B bem conhecido é normalmente tratado como tendo graus de liberdade infinitos. A incerteza-padrão combinada é u_c = √(Σ u_i²), e os graus de liberdade efetivos são v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Como cada termo é elevado à quarta potência, a componente que é ao mesmo tempo grande e pobre em dados domina o denominador, e é essa que segura o valor efetivo em baixo. Uma componente com graus de liberdade infinitos não acrescenta nada ao denominador, pelo que as referências e os passos de resolução não o penalizam.

Ler o fator de expansão a partir do t de Student

Uma vez obtidos os graus de liberdade efetivos, o fator de expansão para 95% de cobertura é o valor bilateral do t de Student, t_0,975, para esse número de graus de liberdade. É cerca de 2,23 perto de dez graus de liberdade, desce para 2,09 perto de vinte e 2,04 perto de trinta, e assenta em direção ao valor normal 1,960 à medida que os graus de liberdade crescem. Esta ferramenta lê k de uma tabela t bilateral a 95% com interpolação. É por isso que um balanço pobre em dados devolve um fator acima de 2 e um bem determinado devolve um fator próximo dele.

O que esta ferramenta deixa a seu cargo

Duas coisas ficam deliberadamente a seu cargo. Os graus de liberdade por trás de cada componente são um juízo: v = n − 1 para um termo de Tipo A é claro, mas o valor para um termo de Tipo B depende de quão bem conhece a sua própria incerteza (o GUM dá um método na cláusula G.4.2), e uma atribuição errada desloca v_eff. E esta calculadora combina cada componente como uma incerteza-padrão independente, pelo que não soma termos de covariância para fontes que variam em conjunto; confirme que as suas componentes não estão correlacionadas antes de confiar no valor combinado. Reporta um fator bilateral de 95% e declara o seu método em vez de escolher a sua política. Referências: JCGM 100:2008 (GUM), Anexo G; ISO/IEC 17025:2017.

Perguntas comuns

O que é a fórmula de Welch-Satterthwaite?

A fórmula de Welch-Satterthwaite estima os graus de liberdade efetivos de uma incerteza-padrão combinada. É v_eff = u_c^4 a dividir pela soma de u_i^4 / v_i, onde u_c é a incerteza-padrão combinada, cada u_i é a incerteza-padrão de uma componente e cada v_i são os graus de liberdade dessa componente. O objetivo é resumir num único número quantos dados sustentam a incerteza combinada, para que um fator de expansão defensável possa ser lido da distribuição t de Student. Está no GUM (JCGM 100:2008), cláusula G.4.1.
O que são graus de liberdade efetivos, e porque importam?

Os graus de liberdade efetivos descrevem quão bem determinada está a incerteza-padrão combinada. Uma incerteza combinada construída sobretudo a partir de poucas leituras repetidas é menos certa do que uma construída a partir de amostras grandes ou de referências bem caracterizadas, e o valor de Welch-Satterthwaite capta isso. Importa porque o fator de expansão para um dado nível de confiança depende dele: menos graus de liberdade efetivos significam um k maior para a mesma cobertura de 95%. Quando uma ou duas componentes de Tipo A com poucos dados dominam o balanço, v_eff é pequeno e k sobe acima de 2.
Como escolho os graus de liberdade de cada componente?

Uma componente de Tipo A avaliada a partir de n leituras repetidas tem v = n - 1. Uma componente de Tipo B cujo limite é bem conhecido (um passo de resolução, um valor de certificado a um k declarado) é normalmente tomada como tendo graus de liberdade infinitos, para não puxar o valor efetivo para baixo. O GUM, na cláusula G.4.2, dá também uma forma de atribuir um valor finito a uma componente de Tipo B a partir de quão bem conhece a sua própria incerteza, aproximadamente v_i = 1 / (2 vezes a incerteza relativa de u_i ao quadrado). Atribuir estes valores é um juízo que pertence ao seu laboratório; esta ferramenta aplica os números que introduz.
Porque é que o fator de expansão k nem sempre é 2?

Um fator de expansão k = 2 dá cerca de 95% de cobertura só quando a distribuição combinada é aproximadamente normal, o que é razoável quando se combinam muitas componentes comparáveis e os graus de liberdade efetivos são grandes. Quando os graus de liberdade efetivos são pequenos, o resultado combinado segue uma distribuição t de Student com caudas mais pesadas, pelo que é preciso um fator maior para manter 95% de cobertura. À medida que v_eff cresce, o fator t de Student desce em direção ao valor normal 1,960, e é por isso que k é próximo de 2 para balanços bem determinados e mais alto para balanços pobres em dados.
Esta calculadora usa 95% ou 95,45% de confiança?

Usa um nível de confiança bilateral de 95,00%, o valor t de Student t_0.975 por graus de liberdade, que converge para 1,960 à medida que os graus de liberdade efetivos crescem. Alguns exemplos do GUM usam em vez disso um nível de 95,45%, para o qual o fator normal é exatamente 2,000, pelo que os fatores saem ligeiramente maiores. Esta ferramenta declara claramente a convenção de 95% para que a possa comparar com a sua própria política. Se o seu sistema da qualidade fixar um nível diferente, trate o k aqui reportado como o valor bilateral de 95% e não como um substituto da sua regra declarada.
Como é que isto se relaciona com a calculadora de balanço de incertezas?

A calculadora de balanço de incertezas combina as suas componentes por raiz da soma dos quadrados numa incerteza-padrão combinada e expande-a com um fator de expansão à sua escolha, deixando deliberadamente os graus de liberdade de fora. Esta calculadora é esse passo em falta: traga para aqui a incerteza-padrão de cada componente e os seus graus de liberdade para obter os graus de liberdade efetivos e um fator de expansão lido do t de Student, em vez de assumir k = 2. Usadas em conjunto, dão uma incerteza combinada e uma incerteza expandida com um k defensável.

Esta calculadora aplica a fórmula de Welch-Satterthwaite às componentes que introduz e reporta a incerteza-padrão combinada, os graus de liberdade efetivos, um fator de expansão bilateral a 95% e a incerteza expandida. Não escolhe os seus graus de liberdade, não modela correlações entre componentes e não substitui o JCGM 100:2008 nem a ISO/IEC 17025. Trate o resultado como uma estimativa de trabalho e valide-o face ao seu procedimento de incerteza documentado antes de o usar.

Calculadora de balanço de incerteza de medição Calculadora de incerteza de termopares e RTD Calculadora de banda de segurança e regra de decisão Requisitos do certificado de calibração: o que tem de conter Software de calibração ISO/IEC 17025 Comparar software de calibração Todas as ferramentas

Leve consigo a lista de verificação para a auditoria

A lista de verificação que os auditores usam mesmo, percorrida do fim para o início. A seguir, quatro e-mails curtos e práticos. Sem spam. Cancele a subscrição com um clique.

Mantenha o cálculo da incerteza junto ao registo

O Axiospec guarda todas as calibrações, balanços de incertezas e certificados num único registo com deteção de adulteração, construído para a ISO/IEC 17025, com balanços de incertezas e TUR (rácio entre a tolerância e a incerteza) por instrumento.

Começar

Envie-nos a sua lista de instrumentos e carregamo-la por si, normalmente em dois dias úteis. Sem custos em qualquer plano.

Ou compare os planos, incluindo uma opção gratuita.