Cómo elaborar un presupuesto de incertidumbre de medida: pasos y un ejemplo resuelto

Qué es un presupuesto de incertidumbre

El método procede de la Guía para la expresión de la incertidumbre de medida (GUM, JCGM 100:2008), publicada por el Joint Committee for Guides in Metrology y disponible gratis en el sitio web del BIPM. EA-4/02 M:2022, la guía europea de acreditación sobre la incertidumbre en calibración, lo aplica al trabajo de calibración. Describe el presupuesto como una lista de todas las fuentes de incertidumbre, con la incertidumbre estándar de cada una y la forma en que se evaluó, y recomienda presentarlo como una tabla.

Cada fila de esa tabla lleva los mismos datos: la magnitud de entrada, su estimación, su incertidumbre estándar, la distribución de probabilidad supuesta, el coeficiente de sensibilidad y la contribución resultante a la incertidumbre del resultado. La última línea es la incertidumbre estándar combinada. Una línea más la multiplica por el factor de cobertura para obtener la incertidumbre expandida.

Un presupuesto corresponde a un único proceso de medición: un tipo de instrumento, un método, un rango o un punto. Un micrómetro comprobado con bloques patrón y un manómetro comprobado con una balanza de pesos muertos necesitan presupuestos separados, aunque la misma persona haga ambos.

• Calculadora gratuita de presupuesto de incertidumbre de medida
• Plantilla de presupuesto de incertidumbre (Excel)

Cuándo lo necesitas

Un laboratorio de calibración que trabaja según ISO/IEC 17025:2017 tiene que evaluar la incertidumbre. El apartado 7.6.1 exige que el laboratorio identifique las contribuciones a la incertidumbre de medida y tenga en cuenta todas las significativas. El apartado 7.6.2 exige que un laboratorio que realiza calibraciones, incluidas las de sus propios equipos, evalúe la incertidumbre de medida de todas ellas. Un presupuesto documentado es la forma habitual de mostrar ese trabajo a un evaluador.

El presupuesto también alimenta decisiones. Cuando un laboratorio declara la conformidad con una especificación, ISO/IEC 17025 pide que la regla de decisión esté definida (apartado 7.1.3) y que se informe junto con la declaración (apartado 7.8.6). Las reglas de decisión que usan una banda de guarda toman su anchura de la incertidumbre expandida, así que el presupuesto es el dato de partida.

Los talleres que no son laboratorios también necesitan ese número. Sin una incertidumbre expandida no puedes calcular una relación de incertidumbre de prueba (TUR), fijar una banda de guarda ni demostrar que una calibración interna es suficiente para la tolerancia que verifica. A veces los clientes la piden directamente.

• La banda de guarda en calibración

Empieza por el modelo de medición

Anota qué estás midiendo y cómo se calcula el resultado. La GUM lo llama modelo, Y = f(X1, X2, ..., XN): la magnitud de salida Y depende de las magnitudes de entrada X1 a XN. Cada entrada que puede variar es candidata a una fila del presupuesto.

En la mayoría de las calibraciones el modelo es corto. Cuando calibras un micrómetro con un bloque patrón, el resultado es el error de indicación: la lectura del micrómetro menos la longitud del bloque patrón, más pequeñas correcciones, como una por temperatura. Aplica las correcciones que puedas estimar. Su incertidumbre se queda en el presupuesto.

Enumera las fuentes de incertidumbre

Recorre la medición desde la referencia hasta la lectura. Estas son las fuentes habituales en una calibración.

• El patrón de referencia. Su certificado de calibración indica una incertidumbre expandida y un factor de cobertura. Es un término fácil de olvidar porque el patrón parece la verdad.
• La deriva del patrón de referencia desde su última calibración, estimada a partir de su historial de calibraciones.
• La resolución del instrumento que se calibra, y la de la referencia si tiene indicador. Una lectura digital se redondea a su último dígito.
• La repetibilidad, a partir de lecturas repetidas en las mismas condiciones.
• La temperatura. La desviación respecto a la temperatura de referencia, y cualquier diferencia entre la referencia y el elemento, actúan a través de la dilatación térmica.
• El método y el montaje, como la alineación, la fuerza de medición, el ajuste de cero o el utillaje.
• El operador, cuando distintas personas obtienen resultados distintos. Un estudio con varios operadores lo mide.
• El comportamiento del propio elemento durante la medición, como la histéresis o un cero inestable.

Evaluación de Tipo A y de Tipo B

La GUM clasifica las evaluaciones por el método, no por el tipo de efecto. Una evaluación de Tipo A usa el análisis estadístico de una serie de observaciones. Una evaluación de Tipo B usa otra información: un certificado de calibración, una especificación del fabricante, un valor de un manual o la experiencia con el instrumento. Ambas producen una incertidumbre estándar, que es una desviación estándar, y el presupuesto las combina de la misma manera.

Para el Tipo A, toma n lecturas repetidas y calcula su desviación estándar experimental s. Si el resultado que informas es la media de esas n lecturas, su incertidumbre estándar es s / √n (GUM 4.2.3). Si el resultado es una sola lectura, usa la propia s. Los grados de libertad son n − 1.

Para el Tipo B, convierte lo que te da la fuente en una desviación estándar. Un certificado que indica U = 0,10 µm con k = 2 da una incertidumbre estándar de 0,10 / 2 = 0,05 µm. La NIST Technical Note 1297 da la misma regla: divide una incertidumbre declarada entre el factor con el que se declaró. Una fuente que solo da límites de ±a necesita un divisor que depende de la distribución que supongas.

• Calculadora de incertidumbre de Tipo A

Distribuciones y divisores

Cuando una fuente da límites de ±a en lugar de una desviación estándar, la incertidumbre estándar es a dividida entre un factor. El factor depende de cómo es probable que se repartan los valores posibles entre los límites.

• Calculadora de incertidumbre por resolución

Coeficientes de sensibilidad

Las entradas suelen venir en unidades distintas de las del resultado. Una temperatura llega en °C mientras el resultado está en µm. El coeficiente de sensibilidad c indica cuánto cambia el resultado por cada unidad de cambio en una entrada, así que cada contribución es c × u. En la GUM es la derivada parcial del modelo respecto a esa entrada (apartado 5.1.3).

Cuando el modelo es una simple suma o diferencia, cada coeficiente vale 1 o −1 y las unidades ya coinciden. Para un efecto de la temperatura sobre una longitud, el coeficiente es la longitud por el coeficiente de dilatación. Una pieza de acero de 25 mm con un coeficiente de dilatación de 11,5 × 10⁻⁶ por °C cambia 25 mm × 11,5 × 10⁻⁶ = 0,2875 µm por °C.

Combinar las contribuciones: raíz de la suma de cuadrados

Para entradas independientes, la incertidumbre estándar combinada es la raíz cuadrada de la suma de las contribuciones al cuadrado: u_c = √((c1 × u1)² + (c2 × u2)² + ... + (cN × uN)²). Es la ley de propagación de la incertidumbre de la GUM para entradas no correlacionadas (apartado 5.1.2).

Al elevar al cuadrado, los términos grandes dominan. Una contribución de un tercio del tamaño de la mayor solo aumenta el total en un 5 % aproximadamente. El esfuerzo dedicado a reducir el término mayor rinde mucho más que el dedicado a los pequeños.

La fórmula supone que las entradas no están correlacionadas. Cuando dos entradas varían juntas, por ejemplo porque ambas se midieron con el mismo patrón de referencia o el mismo termómetro, la GUM añade términos de covarianza (apartado 5.2). EA-4/02 señala que otra elección del modelo puede a veces eliminar la correlación.

Grados de libertad efectivos y el factor de cobertura k

La incertidumbre expandida es U = k × u_c (GUM 6.2.1). El habitual k = 2 da una cobertura de aproximadamente el 95 % solo en dos condiciones. El resultado combinado tiene que ser casi normal, lo que se cumple cuando se combinan varias contribuciones de tamaño comparable. Y u_c tiene que ser fiable, lo que significa que sus grados de libertad efectivos son grandes. El enfoque simplificado de la GUM pide más de unos 10 (G.6.6). EA-4/02 da por cumplida la condición de fiabilidad cuando ninguna contribución de Tipo A procede de menos de diez lecturas repetidas.

Cuando un término de Tipo A obtenido con pocas lecturas tiene una parte grande del presupuesto, estima los grados de libertad efectivos con la fórmula de Welch-Satterthwaite (GUM G.4.1): ν_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / ν_i). Cada término de Tipo A tiene ν = n − 1. A un término de Tipo B cuyos límites se fijaron de modo que los valores fuera de ellos sean muy improbables se le suelen asignar infinitos grados de libertad, así que desaparece de la suma (GUM G.4.3).

Después lee k en la distribución t al 95,45 %, la cobertura que da k = 2 para una distribución normal. Si ν_eff no es un número entero, trúncalo al entero inmediatamente inferior.

• Calculadora Welch-Satterthwaite de grados de libertad efectivos

Ejemplo resuelto: un micrómetro a 25 mm

Un micrómetro digital de 0 a 25 mm que lee hasta 0,001 mm se calibra a 25 mm con un bloque patrón de acero. El certificado del bloque indica su longitud como 25,0000 mm con una incertidumbre expandida de 0,10 µm para k = 2. El técnico toma tres lecturas: 25,001, 25,002 y 25,001 mm. Su media es 25,0013 mm, así que el error de indicación es +1,3 µm. Tras manipularlos, el bloque y el micrómetro pueden diferir en temperatura hasta ±1 °C.

• Incertidumbre estándar combinada: u_c = √(0,050² + 0,289² + 0,333² + 0,166²) = √0,2245 = 0,474 µm.
• La repetibilidad aporta aproximadamente la mitad de la varianza, la resolución el 37 %, la temperatura el 12 % y el bloque patrón alrededor del 1 %.
• Grados de libertad efectivos: ν_eff = 0,474⁴ / (0,333⁴ / 2) = 8,2. Los demás términos tienen infinitos grados de libertad y desaparecen de la suma.
• Factor de cobertura: se trunca 8,2 a 8, así que k = 2,37 según la tabla anterior.
• Incertidumbre expandida: U = 2,37 × 0,474 = 1,12 µm. Redondeada hacia arriba a dos cifras significativas, como permite la GUM, queda en 1,2 µm.
• Resultado: el error de indicación a 25 mm es +1,3 µm con U = 1,2 µm (k = 2,37, cobertura de aproximadamente el 95 %).

Cómo alimenta el presupuesto el TUR y la banda de guarda

La relación de incertidumbre de prueba compara la tolerancia con la incertidumbre expandida de la calibración: TUR = semiamplitud de la tolerancia ÷ U. Si la tolerancia en este punto es de ±3 µm, TUR = 3 ÷ 1,2 = 2,5:1. La relación de exactitud de prueba (TAR) usa solo la exactitud del patrón de referencia, así que no tiene en cuenta la resolución, la repetibilidad ni la temperatura. En este ejemplo, esas tres forman casi todo el presupuesto.

Una banda de guarda usa la misma U. Con la regla simple de restar la incertidumbre expandida completa a cada límite de tolerancia, los límites de aceptación quedan en ±(3 − 1,2) = ±1,8 µm. El error medido de +1,3 µm está dentro de ellos, así que el micrómetro pasa con esa regla.

Aquí también importa el factor de cobertura. Con k = 2, el presupuesto daría U = 0,95 µm y un TUR de 3,2:1, lo que hace que la medición parezca mejor de lo que es.

• Calculadora de TUR y TAR
• Banda de guarda y reglas de decisión

Errores comunes

• Omitir la incertidumbre propia del patrón de referencia. El valor de su certificado también es incierto, y esa incertidumbre pasa a cada calibración que se hace con él. Suele ser pequeña, como en el ejemplo anterior, pero tiene que estar en el presupuesto.
• Usar k = 2 con solo unas pocas lecturas. Cuando domina un término de Tipo A obtenido con tres o cuatro lecturas, k = 2 da una cobertura muy inferior al 95 %. Calcula primero los grados de libertad efectivos.
• Contar dos veces la resolución y la repetibilidad, o prescindir de la resolución. Las lecturas tomadas de un indicador ya llevan su redondeo, así que los dos términos describen en parte lo mismo. El enfoque de la GUM suma ambos. Un estudio del NIST (Phillips, Toman y Estler, 2008) lo comparó con la regla de ISO 14253-2 de conservar solo el mayor, y encontró que conservar solo el mayor puede subestimar la incertidumbre. Elige una regla, escríbela en tu procedimiento y aplícala siempre. No prescindas nunca de la resolución cuando todas las lecturas repetidas son idénticas, porque entonces el término de Tipo A es cero y nada más representa el redondeo (GUM F.2.2.1).
• Dividir entre √n cuando informas una sola lectura. s / √n es la incertidumbre de una media. Si el resultado que informas es una sola lectura, el término de repetibilidad es s.
• Mezclar unidades o niveles de confianza. Convierte cada valor de un certificado en una incertidumbre estándar antes de combinar, y expresa cada contribución en las unidades del resultado.

Dónde encaja Axiospec

Axiospec es un software de gestión de calibraciones. Registra cada calibración con sus lecturas como se encontró y como se dejó, el certificado y la fecha de vencimiento. También puede guardar un presupuesto de incertidumbre para cada instrumento y usarlo para la relación de incertidumbre de prueba (TUR) cuando una calibración no declara una incertidumbre propia. Elaborar el presupuesto y juzgarlo sigue siendo tarea tuya.