Cp e Cpk explicados: fórmulas e exemplos resolvidos

O que medem o Cp e o Cpk

Um índice de capacidade compara duas larguras. A primeira é a tolerância, a distância entre o limite inferior de especificação (LSL) e o limite superior de especificação (USL). A segunda é a dispersão natural do processo, considerada como seis desvios-padrão (6σ). Numa distribuição normal, 99,73 % da produção fica a menos de três desvios-padrão de cada lado da média.

O Cp olha apenas para a dispersão. Indica se o processo caberia dentro da tolerância se funcionasse exatamente ao centro. O Cpk olha também para onde o processo se encontra. Mede a distância da média ao limite de especificação mais próximo, em unidades de três desvios-padrão. Um processo com um bom Cp pode ter um Cpk fraco se funcionar descentrado.

Os dois índices descrevem uma característica, como o diâmetro de um furo ou um binário de aperto, produzida por um processo que funciona de forma estável. Resumem a posição dessa produção face ao desenho. Não são um veredicto sobre nenhuma peça em concreto.

As fórmulas do Cp e do Cpk

O Cp divide a largura da tolerância por seis desvios-padrão: Cp = (USL − LSL) / (6σ).

O Cpk calcula-se separadamente para cada limite e indica-se o valor mais baixo. O índice superior é CpU = (USL − média) / (3σ) e o inferior é CpL = (média − LSL) / (3σ). Assim, Cpk = min(CpU, CpL), ou, por extenso, Cpk = min((USL − média) / (3σ), (média − LSL) / (3σ)).

Como o Cpk usa o limite mais próximo, nunca pode ser maior do que o Cp. Os dois só são iguais quando a média está exatamente a meio da tolerância. Se a média ficar fora de um limite de especificação, o Cpk é negativo.

Algumas características têm um só limite, como um batimento máximo ou uma força de arrancamento mínima. Para elas, não é possível calcular o Cp. Indique como Cpk o índice do limite que existe: CpU para um limite superior, CpL para um inferior.

• Calculadora gratuita de capacidade do processo (Cp, Cpk, Pp, Ppk)

Exemplo resolvido: um veio descentrado

O diâmetro de um veio tem uma tolerância de 10,00 ± 0,05 mm, pelo que LSL = 9,95 mm e USL = 10,05 mm. As peças são medidas em subgrupos de cinco, retirados da produção normal. A carta de controlo mostra um processo estável, com uma média de 10,01 mm e uma amplitude média dos subgrupos (R-barra) de 0,0233 mm.

• Desvio-padrão intra-subgrupo: σ = R-barra / d2 = 0,0233 / 2,326 = 0,010 mm. Aqui, d2 = 2,326 é a constante de carta de controlo para subgrupos de cinco.
• Cp = (10,05 − 9,95) / (6 × 0,010) = 0,10 / 0,06 = 1,67
• CpU = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,010) = 0,04 / 0,03 = 1,33
• CpL = (10,01 − 9,95) / (3 × 0,010) = 0,06 / 0,03 = 2,00
• O Cpk é o menor entre o CpU e o CpL, pelo que Cpk = 1,33.

Variação intra-subgrupo e global: Pp e Ppk

As fórmulas não dizem que desvio-padrão usar. Essa escolha é toda a diferença entre os índices de capacidade (Cp, Cpk) e os índices de desempenho (Pp, Ppk).

O Cp e o Cpk usam o desvio-padrão intra-subgrupo, estimado a partir de uma carta de controlo como R-barra / d2 ou S-barra / c4. Reflete a variação por causas comuns dentro de cada subgrupo, num curto intervalo de tempo.

O Pp e o Ppk usam o desvio-padrão global. É o desvio-padrão amostral s de todas as leituras individuais. Capta também tudo o que desloca o processo entre subgrupos, como um novo lote de material, uma mudança de ferramenta ou uma deriva ao longo de um turno.

Um segundo exemplo mostra a diferença. Considere uma produção mais longa do mesmo veio, com a mesma dispersão intra-subgrupo, mas em que a média se deslocou entre lotes de material. O desvio-padrão global de todas as leituras é 0,0125 mm. Então Pp = 0,10 / (6 × 0,0125) = 1,33 e Ppk = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,0125) = 0,04 / 0,0375 = 1,07. O Cpk continua a indicar 1,33, porque a dispersão dentro de cada subgrupo não mudou. O Ppk indica 1,07, e isso está mais perto do que o cliente recebe. Uma diferença desta dimensão costuma aparecer na carta de controlo como médias de subgrupo fora dos limites, o que significa que o processo não é estável no sentido que o Cpk pressupõe.

Quando um processo é estável, os dois desvios-padrão ficam próximos, e os índices também. Uma única coluna de leituras sem subgrupos dá diretamente o desvio-padrão global. É esse que o Pp e o Ppk usam. Para o Cp e o Cpk, o desvio-padrão intra estima-se a partir da amplitude móvel entre leituras consecutivas. É a amplitude móvel média dividida por 1,128, como numa carta de valores individuais. Alguns programas chamam ao Cp e ao Cpk índices de curto prazo e ao Pp e ao Ppk índices de longo prazo. O que muda de facto é o desvio-padrão: intra ou global.

O que o Cpk diz sobre as peças fora de especificação

Se o processo for estável e a sua produção seguir uma distribuição normal, o Cpk converte-se numa fração esperada fora de especificação. O limite mais próximo fica a 3 × Cpk desvios-padrão da média. A área da curva normal para além desse limite é a proporção esperada de peças que o ultrapassam.

A terceira coluna da tabela é a proporção para além do limite mais próximo. A quarta é o total para um processo centrado, em que os dois limites estão à mesma distância. Um processo descentrado com o mesmo Cpk fica entre as duas. No exemplo do veio, o limite superior está a 4σ da média e o inferior a 6σ, pelo que a estimativa é de cerca de 32 ppm, quase todas por excesso de diâmetro.

Que valor de Cpk é suficiente

Nenhuma norma fixa um limiar único de aprovação para todos os produtos. Os números citados vêm sobretudo da prática do setor automóvel e dos requisitos dos clientes.

• Com 1,00, o limite mais próximo fica a 3σ da média. Um processo centrado cabe à justa na tolerância, sem folga para um desvio.
• Com 1,33, fica a 4σ. Muitos clientes fixam este valor como mínimo para a produção corrente.
• Com 1,67, fica a 5σ. No manual do Processo de Aprovação de Peças de Produção (PPAP) da AIAG, um estudo inicial de um processo estável cumpre os critérios de aceitação quando o seu índice é superior a 1,67. Entre 1,33 e 1,67, o resultado pode ser aceitável após análise com o cliente. Abaixo de 1,33, não os cumpre.
• Com 2,00, fica a 6σ. É o objetivo seis sigma de seis desvios-padrão entre a média e o limite mais próximo.

Os pressupostos por trás de cada Cpk

O cálculo dá sempre um número. Se esse número significa alguma coisa depende de quatro condições.

• O processo é estável. A capacidade descreve um processo sob controlo estatístico. Se a carta de controlo mostrar causas especiais, a média e o desvio-padrão estão a mudar, e nenhum índice único descreve o processo. Identifique e elimine primeiro as causas especiais.
• Os dados são aproximadamente normais. Os rácios em si não exigem nenhuma distribuição em particular, mas a ligação às ppm fora de especificação e aos limiares habituais pressupõe uma distribuição normal. Verifique um histograma ou um gráfico de probabilidade normal. Para dados claramente não normais, o NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook descreve como transformar os dados ou usar índices baseados em percentis.
• Há dados suficientes. O manual do NIST diz que uma estimativa válida precisa de cerca de 50 valores independentes, e o manual do PPAP da AIAG pede pelo menos 100 leituras de 25 ou mais subgrupos para um estudo inicial. Mesmo 50 valores deixam uma incerteza real. Com 50 leituras, um Cpk estimado de 1,33 tem um intervalo de confiança aproximado a 95 % de cerca de 1,05 a 1,61, segundo a fórmula que o NIST apresenta.
• As leituras medem bem as peças. Cada leitura inclui erro de medição, e os índices contam esse erro como variação do processo.

Verifique o sistema de medição antes do processo

O desvio-padrão de um estudo de capacidade é a dispersão dos valores medidos. Contém a variação real entre peças, mais a variação que o sistema de medição acrescenta através do instrumento, da pessoa que o utiliza e do método. Para fontes independentes, as variâncias somam-se, pelo que σ² observado = σ² do processo + σ² da medição.

Considere um processo cujo desvio-padrão real é 0,008 mm, medido com um sistema cujo próprio desvio-padrão é 0,006 mm. O desvio-padrão observado é √(0,008² + 0,006²) = 0,010 mm. Para uma tolerância de 0,10 mm, o Cp real é 2,08, mas o estudo indica 1,67. A diferença deve-se ao instrumento, não ao processo.

Por isso, faça um Gage R&R ou outra análise do sistema de medição (MSA) com o instrumento que vai recolher os dados, e confirme que está calibrado, antes de avaliar o processo. Se o sistema de medição ocupar uma parte grande da tolerância, melhore-o primeiro.

• Gage R&R e MSA explicados
• Calculadora Gage R&R
• Estudos de tendência e linearidade do instrumento

Onde se encaixa o Axiospec

O Axiospec é um software de gestão de calibração, não um software de CEP (controlo estatístico do processo). A calculadora de capacidade do processo deste site é uma ferramenta independente e não exige conta.

O Axiospec trata do lado da medição de um estudo de capacidade. Regista as calibrações de cada instrumento com as leituras antes do ajuste e após o ajuste, os seus certificados, as datas de vencimento e os estudos de Gage R&R. Assim, consegue demonstrar que o instrumento por trás de um estudo de capacidade estava calibrado quando os dados foram recolhidos.