Cp et Cpk expliqués : formules et exemples de calcul

Ce que mesurent Cp et Cpk

Un indice de capabilité compare deux largeurs. La première est la tolérance, c'est-à-dire l'écart entre la limite de spécification inférieure (LSL) et la limite de spécification supérieure (USL). La seconde est la dispersion naturelle du procédé, prise égale à six écarts types (6σ). Pour une loi normale, 99,73 % de la production se situe à moins de trois écarts types de part et d'autre de la moyenne.

Le Cp ne regarde que la dispersion. Il indique si le procédé tiendrait dans la tolérance s'il était exactement centré. Le Cpk regarde aussi où se situe le procédé. Il mesure la distance entre la moyenne et la limite de spécification la plus proche, en unités de trois écarts types. Un procédé avec un bon Cp peut avoir un mauvais Cpk s'il est décentré.

Les deux indices décrivent une caractéristique, comme le diamètre d'un alésage ou un couple de serrage, produite par un procédé qui fonctionne de façon stable. Ils résument la position de cette production par rapport au plan. Ils ne jugent aucune pièce en particulier.

Les formules de Cp et Cpk

Le Cp divise la largeur de la tolérance par six écarts types : Cp = (USL − LSL) / (6σ).

Le Cpk se calcule séparément pour chaque limite, et on retient la plus petite valeur. L'indice supérieur est CpU = (USL − moyenne) / (3σ) et l'indice inférieur est CpL = (moyenne − LSL) / (3σ). Ainsi Cpk = min(CpU, CpL), soit en toutes lettres Cpk = min((USL − moyenne) / (3σ), (moyenne − LSL) / (3σ)).

Comme le Cpk utilise la limite la plus proche, il ne peut jamais dépasser le Cp. Les deux ne sont égaux que lorsque la moyenne est exactement au milieu de la tolérance. Si la moyenne sort d'une limite de spécification, le Cpk devient négatif.

Certaines caractéristiques n'ont qu'une seule limite, comme un faux-rond maximal ou une force d'arrachement minimale. Le Cp ne peut pas se calculer pour elles. Indiquez comme Cpk l'indice de la limite qui existe : CpU pour une limite supérieure, CpL pour une limite inférieure.

• Calculateur de capabilité du procédé gratuit (Cp, Cpk, Pp, Ppk)

Exemple chiffré : un arbre décentré

Le diamètre d'un arbre est tolérancé à 10,00 ± 0,05 mm, donc LSL = 9,95 mm et USL = 10,05 mm. Les pièces sont mesurées par sous-groupes de cinq prélevés en production normale. La carte de contrôle montre un procédé stable, avec une moyenne de 10,01 mm et une étendue moyenne des sous-groupes (R-barre) de 0,0233 mm.

• Écart type intra-sous-groupe : σ = R-barre / d2 = 0,0233 / 2,326 = 0,010 mm. Ici d2 = 2,326 est la constante de carte de contrôle pour des sous-groupes de cinq.
• Cp = (10,05 − 9,95) / (6 × 0,010) = 0,10 / 0,06 = 1,67
• CpU = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,010) = 0,04 / 0,03 = 1,33
• CpL = (10,01 − 9,95) / (3 × 0,010) = 0,06 / 0,03 = 2,00
• Le Cpk est le plus petit de CpU et CpL, donc Cpk = 1,33.

Variation intra-sous-groupe et globale : Pp et Ppk

Les formules ne disent pas quel écart type utiliser. Ce choix fait toute la différence entre les indices de capabilité (Cp, Cpk) et les indices de performance (Pp, Ppk).

Cp et Cpk utilisent l'écart type intra-sous-groupe, estimé sur une carte de contrôle par R-barre / d2 ou S-barre / c4. Il reflète la variation due aux causes communes à l'intérieur de chaque sous-groupe, sur une courte période.

Pp et Ppk utilisent l'écart type global. C'est l'écart type d'échantillon s de toutes les valeurs individuelles. Il capte aussi tout ce qui déplace le procédé entre les sous-groupes, comme un nouveau lot de matière, un changement d'outil ou une dérive au cours d'une équipe.

Un second exemple montre la différence. Prenez une série plus longue du même arbre, avec la même dispersion intra-sous-groupe, mais où la moyenne a bougé entre les lots de matière. L'écart type global de toutes ses valeurs est de 0,0125 mm. On obtient alors Pp = 0,10 / (6 × 0,0125) = 1,33 et Ppk = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,0125) = 0,04 / 0,0375 = 1,07. Le Cpk indique toujours 1,33, car la dispersion à l'intérieur de chaque sous-groupe n'a pas changé. Le Ppk indique 1,07, ce qui est plus proche de ce que reçoit le client. Un écart de cette taille apparaît en général sur la carte de contrôle sous la forme de moyennes de sous-groupes hors des limites, ce qui signifie que le procédé n'est pas stable au sens où le Cpk le suppose.

Quand un procédé est stable, les deux écarts types sont proches, et les indices aussi. Une seule colonne de valeurs sans sous-groupes donne directement l'écart type global. C'est celui qu'utilisent Pp et Ppk. Pour Cp et Cpk, l'écart type intra s'estime à partir de l'étendue mobile entre valeurs consécutives. C'est l'étendue mobile moyenne divisée par 1,128, comme sur une carte des valeurs individuelles. Certains logiciels appellent Cp et Cpk court terme, et Pp et Ppk long terme. Ce qui change réellement, c'est l'écart type : intra ou global.

Ce que dit le Cpk sur les pièces hors spécification

Si le procédé est stable et que sa production suit une loi normale, le Cpk se convertit en une proportion attendue hors spécification. La limite la plus proche se trouve à 3 × Cpk écarts types de la moyenne. L'aire sous la courbe normale au-delà de cette limite est la part attendue de pièces qui la dépassent.

La troisième colonne du tableau donne la part au-delà de la limite la plus proche. La quatrième donne le total pour un procédé centré, où les deux limites sont à la même distance. Un procédé décentré avec le même Cpk se situe entre les deux. Dans l'exemple de l'arbre, la limite supérieure est à 4σ de la moyenne et la limite inférieure à 6σ, l'estimation est donc d'environ 32 ppm, presque toutes en surdimension.

Quelle valeur de Cpk suffit

Aucune norme ne fixe un seuil unique pour tous les produits. Les chiffres que l'on cite viennent surtout de la pratique automobile et des exigences des clients.

• À 1,00, la limite la plus proche est à 3σ de la moyenne. Un procédé centré tient tout juste dans la tolérance, sans marge pour un décalage.
• À 1,33, elle est à 4σ. Beaucoup de clients en font le minimum pour la production courante.
• À 1,67, elle est à 5σ. Dans le manuel Production Part Approval Process (PPAP) de l'AIAG, une étude initiale d'un procédé stable satisfait les critères d'acceptation lorsque son indice dépasse 1,67. Entre 1,33 et 1,67, le résultat peut être acceptable après revue avec le client. En dessous de 1,33, il ne les satisfait pas.
• À 2,00, elle est à 6σ. C'est la cible six sigma de six écarts types entre la moyenne et la limite la plus proche.

Les hypothèses derrière chaque Cpk

Le calcul donne toujours un chiffre. Que ce chiffre ait un sens dépend de quatre conditions.

• Le procédé est stable. La capabilité décrit un procédé sous maîtrise statistique. Si la carte de contrôle montre des causes spéciales, la moyenne et l'écart type bougent, et aucun indice unique ne décrit le procédé. Identifiez et éliminez d'abord les causes spéciales.
• Les données sont proches de la normale. Les rapports eux-mêmes ne demandent aucune loi particulière, mais le lien avec les ppm hors spécification et avec les seuils habituels suppose une loi normale. Vérifiez un histogramme ou une droite de Henry. Pour des données nettement non normales, le NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook décrit comment transformer les données ou utiliser des indices fondés sur les percentiles.
• Les données sont suffisantes. Le manuel du NIST indique qu'une estimation valable demande environ 50 valeurs indépendantes, et le manuel PPAP de l'AIAG exige au moins 100 valeurs issues de 25 sous-groupes ou plus pour une étude initiale. Même 50 valeurs laissent une réelle incertitude. Avec 50 valeurs, un Cpk estimé de 1,33 a un intervalle de confiance approché à 95 % d'environ 1,05 à 1,61, selon la formule donnée par le NIST.
• Les relevés mesurent bien les pièces. Chaque relevé contient une erreur de mesure, et les indices comptent cette erreur comme de la variation du procédé.

Vérifiez le système de mesure avant le procédé

L'écart type d'une étude de capabilité est la dispersion des valeurs mesurées. Il contient la variation réelle d'une pièce à l'autre, plus celle qu'ajoute le système de mesure par le moyen de mesure, la personne qui l'utilise et la méthode. Pour des sources indépendantes, les variances s'additionnent, donc σ² observé = σ² du procédé + σ² de la mesure.

Prenez un procédé dont l'écart type réel est de 0,008 mm, mesuré avec un système dont l'écart type propre est de 0,006 mm. L'écart type observé vaut √(0,008² + 0,006²) = 0,010 mm. Pour une tolérance de 0,10 mm, le Cp réel est de 2,08, mais l'étude affiche 1,67. C'est le moyen de mesure qui explique la différence, pas le procédé.

Réalisez donc un Gage R&R ou une autre analyse du système de mesure (MSA) sur le moyen de mesure qui servira à collecter les données, et vérifiez qu'il est étalonné, avant de juger le procédé. Si le système de mesure consomme une grande part de la tolérance, améliorez-le d'abord.

• Gage R&R et MSA expliqués
• Calculateur Gage R&R
• Études de biais et de linéarité des moyens de mesure

La place d'Axiospec

Axiospec est un logiciel de gestion des étalonnages, pas un logiciel de MSP (SPC). Le calculateur de capabilité du procédé de ce site est un outil autonome qui ne demande aucun compte.

Axiospec couvre le volet mesure d'une étude de capabilité. Il enregistre les étalonnages de chaque moyen de mesure avec les relevés avant et après ajustage, ses certificats, ses échéances et ses études Gage R&R. Vous pouvez ainsi montrer que le moyen de mesure utilisé pour une étude de capabilité était étalonné au moment de la prise des données.