Cp e Cpk explicados: fórmulas e exemplos resolvidos

O que Cp e Cpk medem

Um índice de capacidade compara duas larguras. A primeira é a tolerância, a distância entre o limite inferior de especificação (LSL) e o limite superior de especificação (USL). A segunda é a dispersão natural do processo, tomada como seis desvios-padrão (6σ). Em uma distribuição normal, 99,73% da produção fica a menos de três desvios-padrão de cada lado da média.

O Cp olha só para a dispersão. Ele diz se o processo caberia dentro da tolerância se rodasse exatamente no centro. O Cpk olha também para onde o processo está. Ele mede a distância da média até o limite de especificação mais próximo, em unidades de três desvios-padrão. Um processo com bom Cp pode ter um Cpk ruim se rodar descentrado.

Os dois índices descrevem uma característica, como o diâmetro de um furo ou um torque de aperto, produzida por um processo que funciona de forma estável. Eles resumem como essa produção se posiciona em relação ao desenho. Não são um veredito sobre nenhuma peça específica.

As fórmulas de Cp e Cpk

O Cp divide a largura da tolerância por seis desvios-padrão: Cp = (USL − LSL) / (6σ).

O Cpk é calculado separadamente para cada limite, e o menor valor é o que se informa. O índice superior é CpU = (USL − média) / (3σ) e o inferior é CpL = (média − LSL) / (3σ). Assim, Cpk = min(CpU, CpL), ou, por extenso, Cpk = min((USL − média) / (3σ), (média − LSL) / (3σ)).

Como o Cpk usa o limite mais próximo, ele nunca pode ser maior que o Cp. Os dois só são iguais quando a média está exatamente no meio da tolerância. Se a média cair fora de um limite de especificação, o Cpk é negativo.

Algumas características têm um só limite, como um batimento máximo ou uma força de arrancamento mínima. Para elas, o Cp não pode ser calculado. Informe como Cpk o índice do limite que existe: CpU para um limite superior, CpL para um inferior.

• Calculadora gratuita de capacidade do processo (Cp, Cpk, Pp, Ppk)

Exemplo resolvido: um eixo descentrado

O diâmetro de um eixo tem tolerância de 10,00 ± 0,05 mm, então LSL = 9,95 mm e USL = 10,05 mm. As peças são medidas em subgrupos de cinco, tirados da produção normal. A carta de controle mostra um processo estável, com média de 10,01 mm e amplitude média dos subgrupos (R-barra) de 0,0233 mm.

• Desvio-padrão dentro do subgrupo: σ = R-barra / d2 = 0,0233 / 2,326 = 0,010 mm. Aqui d2 = 2,326 é a constante de carta de controle para subgrupos de cinco.
• Cp = (10,05 − 9,95) / (6 × 0,010) = 0,10 / 0,06 = 1,67
• CpU = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,010) = 0,04 / 0,03 = 1,33
• CpL = (10,01 − 9,95) / (3 × 0,010) = 0,06 / 0,03 = 2,00
• O Cpk é o menor entre CpU e CpL, então Cpk = 1,33.

Variação dentro do subgrupo e global: Pp e Ppk

As fórmulas não dizem qual desvio-padrão usar. Essa escolha é toda a diferença entre os índices de capacidade (Cp, Cpk) e os índices de desempenho (Pp, Ppk).

Cp e Cpk usam o desvio-padrão dentro do subgrupo, estimado a partir de uma carta de controle como R-barra / d2 ou S-barra / c4. Ele reflete a variação por causas comuns dentro de cada subgrupo, em um curto intervalo de tempo.

Pp e Ppk usam o desvio-padrão global. É o desvio-padrão amostral s de todas as leituras individuais. Ele também capta tudo o que desloca o processo entre subgrupos, como um novo lote de material, uma troca de ferramenta ou uma deriva ao longo de um turno.

Um segundo exemplo mostra a diferença. Pegue uma rodada mais longa do mesmo eixo, com a mesma dispersão dentro do subgrupo, mas em que a média se deslocou entre lotes de material. O desvio-padrão global de todas as leituras é 0,0125 mm. Então Pp = 0,10 / (6 × 0,0125) = 1,33 e Ppk = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,0125) = 0,04 / 0,0375 = 1,07. O Cpk continua dizendo 1,33, porque a dispersão dentro de cada subgrupo não mudou. O Ppk diz 1,07, e isso está mais perto do que o cliente recebe. Uma diferença desse tamanho costuma aparecer na carta de controle como médias de subgrupo fora dos limites, o que significa que o processo não é estável no sentido que o Cpk pressupõe.

Quando um processo é estável, os dois desvios-padrão ficam próximos, e os índices também. Uma única coluna de leituras sem subgrupos dá diretamente o desvio-padrão global. É ele que Pp e Ppk usam. Para Cp e Cpk, o desvio-padrão dentro é estimado pela amplitude móvel entre leituras consecutivas. É a amplitude móvel média dividida por 1,128, como em uma carta de valores individuais. Alguns softwares chamam Cp e Cpk de curto prazo e Pp e Ppk de longo prazo. O que muda de fato é o desvio-padrão: dentro ou global.

O que o Cpk diz sobre peças fora de especificação

Se o processo é estável e sua produção segue uma distribuição normal, o Cpk se converte em uma fração esperada fora de especificação. O limite mais próximo fica a 3 × Cpk desvios-padrão da média. A área da curva normal além desse limite é a parcela esperada de peças que o ultrapassam.

A terceira coluna da tabela é a parcela além do limite mais próximo. A quarta é o total para um processo centrado, em que os dois limites estão à mesma distância. Um processo descentrado com o mesmo Cpk fica entre as duas. No exemplo do eixo, o limite superior está a 4σ da média e o inferior a 6σ, então a estimativa é de cerca de 32 ppm, quase tudo acima da medida.

Qual valor de Cpk é suficiente

Nenhuma norma define uma nota de aprovação única para todos os produtos. Os números citados vêm principalmente da prática automotiva e dos requisitos dos clientes.

• Com 1,00, o limite mais próximo fica a 3σ da média. Um processo centrado cabe justo na tolerância, sem folga para um deslocamento.
• Com 1,33, ele fica a 4σ. Muitos clientes definem esse valor como mínimo para a produção contínua.
• Com 1,67, ele fica a 5σ. No manual do Processo de Aprovação de Peça de Produção (PPAP) da AIAG, um estudo inicial de um processo estável atende aos critérios de aceitação quando seu índice é maior que 1,67. De 1,33 a 1,67, o resultado pode ser aceitável após análise com o cliente. Abaixo de 1,33, não atende.
• Com 2,00, ele fica a 6σ. É a meta seis sigma de seis desvios-padrão entre a média e o limite mais próximo.

As premissas por trás de todo Cpk

A conta sempre dá um número. Se esse número significa alguma coisa depende de quatro condições.

• O processo é estável. A capacidade descreve um processo sob controle estatístico. Se a carta de controle mostra causas especiais, a média e o desvio-padrão estão se movendo, e nenhum índice único descreve o processo. Encontre e elimine primeiro as causas especiais.
• Os dados são aproximadamente normais. As razões em si não exigem nenhuma distribuição específica, mas a ligação com ppm fora de especificação e com os limites usuais pressupõe uma distribuição normal. Verifique um histograma ou um gráfico de probabilidade normal. Para dados claramente não normais, o NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook descreve como transformar os dados ou usar índices baseados em percentis.
• Há dados suficientes. O manual do NIST diz que uma estimativa válida precisa de cerca de 50 valores independentes, e o manual do PPAP da AIAG pede pelo menos 100 leituras de 25 subgrupos ou mais para um estudo inicial. Mesmo 50 valores deixam uma incerteza real. Com 50 leituras, um Cpk estimado de 1,33 tem um intervalo de confiança aproximado de 95% de cerca de 1,05 a 1,61, pela fórmula que o NIST apresenta.
• As leituras medem bem as peças. Toda leitura inclui erro de medição, e os índices contam esse erro como variação do processo.

Verifique o sistema de medição antes do processo

O desvio-padrão de um estudo de capacidade é a dispersão dos valores medidos. Ele contém a variação real entre peças mais a variação que o sistema de medição acrescenta por meio do instrumento, da pessoa que o usa e do método. Para fontes independentes, as variâncias se somam, então σ² observado = σ² do processo + σ² da medição.

Pegue um processo cujo desvio-padrão real é 0,008 mm, medido com um sistema cujo próprio desvio-padrão é 0,006 mm. O desvio-padrão observado é √(0,008² + 0,006²) = 0,010 mm. Para uma tolerância de 0,10 mm, o Cp real é 2,08, mas o estudo informa 1,67. A diferença vem do instrumento, não do processo.

Por isso, faça um Gage R&R ou outra análise do sistema de medição (MSA) com o instrumento que vai coletar os dados, e confirme que ele está calibrado, antes de julgar o processo. Se o sistema de medição consome uma parte grande da tolerância, melhore-o primeiro.

• Gage R&R e MSA explicados
• Calculadora de Gage R&R
• Estudos de tendência e linearidade do instrumento

Onde o Axiospec se encaixa

O Axiospec é um software de gestão de calibração, não um software de CEP. A calculadora de capacidade do processo deste site é uma ferramenta independente e não exige conta.

O Axiospec cuida do lado da medição de um estudo de capacidade. Ele registra as calibrações de cada instrumento com as leituras antes do ajuste e após o ajuste, seus certificados, suas datas de vencimento e seus estudos de Gage R&R. Assim você consegue mostrar que o instrumento por trás de um estudo de capacidade estava calibrado quando os dados foram coletados.