Cp y Cpk explicados: fórmulas y ejemplos resueltos

Qué miden Cp y Cpk

Un índice de capacidad compara dos anchos. El primero es la tolerancia, la distancia entre el límite inferior de especificación (LSL) y el límite superior de especificación (USL). El segundo es la dispersión natural del proceso, que se toma como seis desviaciones estándar (6σ). En una distribución normal, el 99,73 % de la producción queda a menos de tres desviaciones estándar a cada lado de la media.

Cp solo mira la dispersión. Te dice si el proceso cabría dentro de la tolerancia si trabajara justo en el centro. Cpk mira además dónde está el proceso. Mide la distancia de la media al límite de especificación más cercano, en unidades de tres desviaciones estándar. Un proceso con un buen Cp puede tener un Cpk pobre si trabaja descentrado.

Ambos índices describen una característica, como el diámetro de un agujero o un par de apriete, fabricada por un proceso que funciona de forma estable. Resumen cómo se sitúa esa producción frente al plano. No son un veredicto sobre una pieza concreta.

Las fórmulas de Cp y Cpk

Cp divide el ancho de la tolerancia entre seis desviaciones estándar: Cp = (USL − LSL) / (6σ).

Cpk se calcula por separado para cada límite y se informa el valor menor. El índice superior es CpU = (USL − media) / (3σ) y el inferior es CpL = (media − LSL) / (3σ). Así, Cpk = min(CpU, CpL), o escrito completo, Cpk = min((USL − media) / (3σ), (media − LSL) / (3σ)).

Como el Cpk usa el límite más cercano, nunca puede ser mayor que el Cp. Los dos son iguales solo cuando la media está exactamente en el centro de la tolerancia. Si la media cae fuera de un límite de especificación, el Cpk es negativo.

Algunas características tienen un solo límite, como un descentramiento máximo o una fuerza de arranque mínima. Para ellas no se puede calcular el Cp. Informa como Cpk el índice del límite que existe: CpU para un límite superior, CpL para uno inferior.

• Calculadora gratuita de capacidad del proceso (Cp, Cpk, Pp, Ppk)

Ejemplo resuelto: un eje descentrado

El diámetro de un eje tiene una tolerancia de 10,00 ± 0,05 mm, así que LSL = 9,95 mm y USL = 10,05 mm. Las piezas se miden en subgrupos de cinco tomados de la producción normal. El gráfico de control muestra un proceso estable con una media de 10,01 mm y un rango medio de los subgrupos (R barra) de 0,0233 mm.

• Desviación estándar dentro del subgrupo: σ = R barra / d2 = 0,0233 / 2,326 = 0,010 mm. Aquí d2 = 2,326 es la constante de gráficos de control para subgrupos de cinco.
• Cp = (10,05 − 9,95) / (6 × 0,010) = 0,10 / 0,06 = 1,67
• CpU = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,010) = 0,04 / 0,03 = 1,33
• CpL = (10,01 − 9,95) / (3 × 0,010) = 0,06 / 0,03 = 2,00
• El Cpk es el menor de CpU y CpL, así que Cpk = 1,33.

Variación dentro del subgrupo y global: Pp y Ppk

Las fórmulas no dicen qué desviación estándar usar. Esa elección es toda la diferencia entre los índices de capacidad (Cp, Cpk) y los índices de desempeño (Pp, Ppk).

Cp y Cpk usan la desviación estándar dentro del subgrupo, estimada en un gráfico de control como R barra / d2 o S barra / c4. Refleja la variación por causas comunes dentro de cada subgrupo, en un intervalo corto de tiempo.

Pp y Ppk usan la desviación estándar global. Es la desviación estándar muestral s de todas las lecturas individuales. También recoge todo lo que desplaza el proceso entre subgrupos, como un lote nuevo de material, un cambio de herramienta o la deriva a lo largo de un turno.

Un segundo ejemplo muestra la diferencia. Toma una tirada más larga del mismo eje, con la misma dispersión dentro del subgrupo, pero en la que la media se movió entre lotes de material. La desviación estándar global de todas sus lecturas es de 0,0125 mm. Entonces Pp = 0,10 / (6 × 0,0125) = 1,33 y Ppk = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,0125) = 0,04 / 0,0375 = 1,07. El Cpk sigue diciendo 1,33, porque la dispersión dentro de cada subgrupo no ha cambiado. El Ppk dice 1,07, y eso se acerca más a lo que recibe el cliente. Una diferencia de este tamaño suele verse en el gráfico de control como medias de subgrupo fuera de los límites, lo que significa que el proceso no es estable en el sentido que supone el Cpk.

Cuando un proceso es estable, las dos desviaciones estándar son parecidas y los índices también. Una sola columna de lecturas sin subgrupos da directamente la desviación estándar global. Es la que usan Pp y Ppk. Para Cp y Cpk, la desviación estándar dentro se estima con el rango móvil entre lecturas consecutivas. Es el rango móvil promedio dividido entre 1,128, como en un gráfico de valores individuales. Algunos programas llaman a Cp y Cpk de corto plazo y a Pp y Ppk de largo plazo. Lo que de verdad cambia es la desviación estándar: dentro o global.

Qué dice el Cpk sobre las piezas fuera de especificación

Si el proceso es estable y su producción sigue una distribución normal, el Cpk se convierte en una fracción esperada fuera de especificación. El límite más cercano está a 3 × Cpk desviaciones estándar de la media. El área de la curva normal más allá de ese límite es la proporción esperada de piezas que lo superan.

La tercera columna de la tabla es la proporción más allá del límite más cercano. La cuarta es el total para un proceso centrado, en el que los dos límites están a la misma distancia. Un proceso descentrado con el mismo Cpk queda entre las dos. En el ejemplo del eje, el límite superior está a 4σ de la media y el inferior a 6σ, así que la estimación es de unas 32 ppm, casi todas por exceso de diámetro.

Qué valor de Cpk es suficiente

Ninguna norma fija un único aprobado para todos los productos. Las cifras que se citan vienen sobre todo de la práctica del sector del automóvil y de los requisitos de los clientes.

• Con 1,00, el límite más cercano queda a 3σ de la media. Un proceso centrado cabe justo en la tolerancia, sin margen para un desplazamiento.
• Con 1,33, queda a 4σ. Muchos clientes lo fijan como mínimo para la producción continua.
• Con 1,67, queda a 5σ. En el manual del proceso de aprobación de piezas de producción (PPAP) de AIAG, un estudio inicial de un proceso estable cumple los criterios de aceptación cuando su índice es mayor que 1,67. Entre 1,33 y 1,67, el resultado puede ser aceptable tras revisarlo con el cliente. Por debajo de 1,33, no los cumple.
• Con 2,00, queda a 6σ. Es el objetivo seis sigma de seis desviaciones estándar entre la media y el límite más cercano.

Los supuestos detrás de cada Cpk

La aritmética siempre da un número. Que ese número signifique algo depende de cuatro condiciones.

• El proceso es estable. La capacidad describe un proceso bajo control estadístico. Si el gráfico de control muestra causas especiales, la media y la desviación estándar se están moviendo y ningún índice único describe el proceso. Encuentra y elimina primero las causas especiales.
• Los datos son aproximadamente normales. Los cocientes en sí no necesitan ninguna distribución concreta, pero la relación con las ppm fuera de especificación y con los umbrales habituales supone una distribución normal. Revisa un histograma o un gráfico de probabilidad normal. Para datos claramente no normales, el NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook describe cómo transformar los datos o usar índices basados en percentiles.
• Hay datos suficientes. El manual del NIST dice que una estimación válida necesita unos 50 valores independientes, y el manual PPAP de AIAG pide al menos 100 lecturas de 25 subgrupos o más para un estudio inicial. Incluso 50 valores dejan una incertidumbre real. Con 50 lecturas, un Cpk estimado de 1,33 tiene un intervalo de confianza aproximado del 95 % de entre 1,05 y 1,61, según la fórmula que da el NIST.
• Las lecturas miden bien las piezas. Cada lectura incluye un error de medición, y los índices cuentan ese error como variación del proceso.

Revisa el sistema de medición antes que el proceso

La desviación estándar de un estudio de capacidad es la dispersión de los valores medidos. Contiene la variación real entre piezas más la que añade el sistema de medición a través del instrumento, la persona que lo usa y el método. Para fuentes independientes, las varianzas se suman, así que σ² observada = σ² del proceso + σ² de la medición.

Toma un proceso cuya desviación estándar real es de 0,008 mm, medido con un sistema cuya propia desviación estándar es de 0,006 mm. La desviación estándar observada es √(0,008² + 0,006²) = 0,010 mm. Frente a una tolerancia de 0,10 mm, el Cp real es 2,08, pero el estudio da 1,67. La diferencia se debe al instrumento, no al proceso.

Por eso, antes de juzgar el proceso, haz un Gage R&R u otro análisis del sistema de medición (MSA) con el instrumento que va a tomar los datos, y confirma que está calibrado. Si el sistema de medición ocupa una parte grande de la tolerancia, mejóralo primero.

• Gage R&R y MSA explicados
• Calculadora de Gage R&R
• Estudios de sesgo y linealidad del instrumento

Dónde encaja Axiospec

Axiospec es un software de gestión de calibraciones, no un software de SPC. La calculadora de capacidad del proceso de este sitio es una herramienta independiente y no necesita cuenta.

Axiospec guarda la parte de medición de un estudio de capacidad. Registra las calibraciones de cada instrumento con las lecturas como se encontró y como se dejó, sus certificados, sus fechas de vencimiento y sus estudios Gage R&R. Así puedes demostrar que el instrumento detrás de un estudio de capacidad estaba calibrado cuando se tomaron los datos.