Cp und Cpk erklärt: Formeln und Rechenbeispiele

Was Cp und Cpk messen

Ein Fähigkeitsindex vergleicht zwei Breiten. Die erste ist die Toleranz, also der Abstand zwischen der unteren Spezifikationsgrenze (USG, englisch LSL) und der oberen Spezifikationsgrenze (OSG, englisch USL). Die zweite ist die natürliche Streuung des Prozesses, angesetzt als sechs Standardabweichungen (6σ). Bei einer Normalverteilung liegen 99,73 Prozent der Fertigung innerhalb von drei Standardabweichungen beiderseits des Mittelwerts.

Cp betrachtet nur die Streuung. Er zeigt, ob der Prozess in die Toleranz passen würde, wenn er genau in der Mitte läge. Cpk betrachtet zusätzlich, wo der Prozess liegt. Er misst den Abstand vom Mittelwert zur näheren Spezifikationsgrenze in Einheiten von drei Standardabweichungen. Ein Prozess mit gutem Cp kann trotzdem einen schlechten Cpk haben, wenn er außermittig läuft.

Beide Indizes beschreiben ein Merkmal, etwa einen Bohrungsdurchmesser oder ein Anziehdrehmoment, das ein stabil laufender Prozess fertigt. Sie fassen zusammen, wie diese Fertigung zur Zeichnung liegt. Über ein einzelnes Teil urteilen sie nicht.

Die Formeln für Cp und Cpk

Cp teilt die Toleranzbreite durch sechs Standardabweichungen: Cp = (OSG − USG) / (6σ).

Cpk wird für jede Grenze getrennt berechnet, und der kleinere Wert wird angegeben. Der Index zur oberen Grenze ist CpU = (OSG − Mittelwert) / (3σ), der zur unteren Grenze ist CpL = (Mittelwert − USG) / (3σ). Damit gilt Cpk = min(CpU, CpL), ausgeschrieben Cpk = min((OSG − Mittelwert) / (3σ), (Mittelwert − USG) / (3σ)).

Weil der Cpk die nähere Grenze verwendet, kann er nie größer sein als der Cp. Beide sind nur dann gleich, wenn der Mittelwert genau in der Toleranzmitte liegt. Liegt der Mittelwert außerhalb einer Spezifikationsgrenze, wird der Cpk negativ.

Manche Merkmale haben nur eine Grenze, etwa einen maximalen Rundlauffehler oder eine minimale Abzugskraft. Für sie lässt sich kein Cp berechnen. Geben Sie den Index zur vorhandenen Grenze als Cpk an: CpU bei einer oberen Grenze, CpL bei einer unteren.

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Rechenbeispiel: eine außermittige Welle

Ein Wellendurchmesser ist mit 10,00 ± 0,05 mm toleriert, also USG = 9,95 mm und OSG = 10,05 mm. Die Teile werden in Untergruppen zu je fünf aus der laufenden Fertigung gemessen. Die Regelkarte zeigt einen stabilen Prozess mit einem Mittelwert von 10,01 mm und einer mittleren Spannweite der Untergruppen (R-quer) von 0,0233 mm.

• Standardabweichung innerhalb der Untergruppen: σ = R-quer / d2 = 0,0233 / 2,326 = 0,010 mm. Dabei ist d2 = 2,326 die Regelkartenkonstante für Untergruppen zu fünf Teilen.
• Cp = (10,05 − 9,95) / (6 × 0,010) = 0,10 / 0,06 = 1,67
• CpU = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,010) = 0,04 / 0,03 = 1,33
• CpL = (10,01 − 9,95) / (3 × 0,010) = 0,06 / 0,03 = 2,00
• Der Cpk ist der kleinere Wert von CpU und CpL, also Cpk = 1,33.

Streuung innerhalb der Untergruppen und Gesamtstreuung: Pp und Ppk

Die Formeln sagen nicht, welche Standardabweichung zu verwenden ist. Genau diese Wahl macht den ganzen Unterschied zwischen den Fähigkeitsindizes (Cp, Cpk) und den Leistungsindizes (Pp, Ppk) aus.

Cp und Cpk verwenden die Standardabweichung innerhalb der Untergruppen, geschätzt aus einer Regelkarte als R-quer / d2 oder S-quer / c4. Sie gibt die Streuung aus zufälligen, gemeinsamen Ursachen innerhalb jeder Untergruppe über einen kurzen Zeitraum wieder.

Pp und Ppk verwenden die Gesamtstandardabweichung. Das ist die gewöhnliche Stichproben-Standardabweichung s aller Einzelwerte. Sie erfasst auch alles, was den Prozess zwischen den Untergruppen verschiebt, etwa ein neues Materiallos, einen Werkzeugwechsel oder eine Drift im Lauf einer Schicht.

Ein zweites Beispiel zeigt den Unterschied. Nehmen Sie einen längeren Lauf derselben Welle mit derselben Streuung innerhalb der Untergruppen, bei dem sich der Mittelwert aber zwischen den Materiallosen verschoben hat. Die Gesamtstandardabweichung aller Messwerte beträgt 0,0125 mm. Dann ist Pp = 0,10 / (6 × 0,0125) = 1,33 und Ppk = (10,05 − 10,01) / (3 × 0,0125) = 0,04 / 0,0375 = 1,07. Der Cpk sagt weiterhin 1,33, weil sich die Streuung innerhalb jeder Untergruppe nicht verändert hat. Der Ppk sagt 1,07, und das liegt näher an dem, was der Kunde erhält. Ein Abstand dieser Größe zeigt sich auf der Regelkarte meist als Mittelwerte von Untergruppen außerhalb der Eingriffsgrenzen. Dann ist der Prozess nicht stabil in dem Sinn, den der Cpk voraussetzt.

Bei einem stabilen Prozess liegen beide Standardabweichungen nah beieinander, und die Indizes ebenso. Eine einzelne Spalte von Messwerten ohne Untergruppen liefert direkt die Gesamtstandardabweichung. Diese verwenden Pp und Ppk. Für Cp und Cpk wird die Standardabweichung innerhalb aus der gleitenden Spannweite aufeinanderfolgender Messwerte geschätzt. Dazu teilt man die mittlere gleitende Spannweite durch 1,128, wie bei einer Einzelwertkarte. Manche Software bezeichnet Cp und Cpk als kurzfristig und Pp und Ppk als langfristig. Tatsächlich unterscheidet sich die Standardabweichung: innerhalb oder gesamt.

Was der Cpk über Teile außerhalb der Spezifikation sagt

Ist der Prozess stabil und folgt die Fertigung einer Normalverteilung, lässt sich der Cpk in einen erwarteten Anteil außerhalb der Spezifikation umrechnen. Die nähere Grenze liegt 3 × Cpk Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt. Die Fläche unter der Normalverteilungskurve jenseits dieser Grenze ist der erwartete Anteil der Teile, die sie überschreiten.

Die dritte Spalte der Tabelle ist der Anteil jenseits der näheren Grenze. Die vierte ist die Summe für einen zentrierten Prozess, bei dem beide Grenzen gleich weit entfernt sind. Ein außermittiger Prozess mit demselben Cpk liegt dazwischen. Im Wellenbeispiel liegt die obere Grenze 4σ vom Mittelwert entfernt und die untere 6σ, die Schätzung ergibt also etwa 32 ppm, fast alle davon mit Übermaß.

Welcher Cpk-Wert reicht aus

Keine Norm legt eine einzige Bestehensgrenze für alle Produkte fest. Die gängigen Zahlen stammen vor allem aus der Automobilpraxis und aus Kundenanforderungen.

• Bei 1,00 liegt die nähere Grenze 3σ vom Mittelwert entfernt. Ein zentrierter Prozess passt gerade in die Toleranz, ohne Spielraum für eine Verschiebung.
• Bei 1,33 liegt sie 4σ entfernt. Viele Kunden setzen diesen Wert als Minimum für die laufende Fertigung.
• Bei 1,67 liegt sie 5σ entfernt. Im AIAG-Handbuch zum Production Part Approval Process (PPAP) erfüllt eine vorläufige Prozessfähigkeitsuntersuchung eines stabilen Prozesses die Annahmekriterien, wenn ihr Index über 1,67 liegt. Zwischen 1,33 und 1,67 kann das Ergebnis nach Abstimmung mit dem Kunden annehmbar sein. Unter 1,33 erfüllt sie die Kriterien nicht.
• Bei 2,00 liegt sie 6σ entfernt. Das entspricht dem Six-Sigma-Ziel von sechs Standardabweichungen zwischen Mittelwert und näherer Grenze.

Die Annahmen hinter jedem Cpk

Die Rechnung liefert immer eine Zahl. Ob diese Zahl etwas aussagt, hängt von vier Bedingungen ab.

• Der Prozess ist stabil. Fähigkeit beschreibt einen statistisch beherrschten Prozess. Zeigt die Regelkarte spezielle Ursachen, bewegen sich Mittelwert und Standardabweichung, und kein einzelner Index beschreibt den Prozess. Finden und beseitigen Sie zuerst die speziellen Ursachen.
• Die Daten sind annähernd normalverteilt. Die Verhältnisse selbst brauchen keine bestimmte Verteilung, aber der Bezug zu ppm außerhalb der Spezifikation und zu den üblichen Schwellen setzt eine Normalverteilung voraus. Prüfen Sie ein Histogramm oder ein Wahrscheinlichkeitsnetz. Für deutlich nicht normalverteilte Daten beschreibt das NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook, wie man die Daten transformiert oder perzentilbasierte Indizes verwendet.
• Es gibt genug Daten. Laut NIST-Handbuch braucht eine belastbare Schätzung etwa 50 unabhängige Werte, und das PPAP-Handbuch der AIAG verlangt für eine vorläufige Untersuchung mindestens 100 Messwerte aus 25 oder mehr Untergruppen. Selbst 50 Werte lassen echte Unsicherheit. Aus 50 Messwerten hat ein geschätzter Cpk von 1,33 nach der Formel des NIST ein ungefähres 95-Prozent-Konfidenzintervall von etwa 1,05 bis 1,61.
• Die Messwerte erfassen die Teile gut. Jeder Messwert enthält eine Messabweichung, und die Indizes zählen diese Abweichung als Prozessstreuung.

Erst das Messsystem prüfen, dann den Prozess

Die Standardabweichung in einer Fähigkeitsuntersuchung ist die Streuung der gemessenen Werte. Sie enthält die echte Streuung von Teil zu Teil und dazu die Streuung, die das Messsystem durch das Messmittel, die messende Person und das Verfahren hinzufügt. Bei unabhängigen Quellen addieren sich die Varianzen, also gilt beobachtetes σ² = σ² des Prozesses + σ² der Messung.

Nehmen Sie einen Prozess mit einer wahren Standardabweichung von 0,008 mm, gemessen mit einem System, dessen eigene Standardabweichung 0,006 mm beträgt. Die beobachtete Standardabweichung ist √(0,008² + 0,006²) = 0,010 mm. Bei einer Toleranz von 0,10 mm beträgt der wahre Cp 2,08, die Untersuchung meldet aber 1,67. Den Unterschied verursacht das Messmittel, nicht der Prozess.

Führen Sie deshalb eine Gage-R&R-Studie oder eine andere Messsystemanalyse (MSA) mit dem Messmittel durch, das die Daten erfassen wird, und stellen Sie sicher, dass es kalibriert ist, bevor Sie den Prozess beurteilen. Beansprucht das Messsystem einen großen Teil der Toleranz, verbessern Sie es zuerst.

• Gage R&R und MSA erklärt
• Gage-R&R-Rechner
• Bias- und Linearitätsstudien für Messmittel

Wo Axiospec ins Spiel kommt

Axiospec ist Software für das Kalibriermanagement, keine SPC-Software. Der Rechner für Prozessfähigkeit auf dieser Website ist ein eigenständiges Werkzeug und braucht kein Konto.

Axiospec deckt die Messseite einer Fähigkeitsuntersuchung ab. Es erfasst die Kalibrierungen jedes Messmittels mit den Messwerten vor und nach der Justierung, seine Kalibrierscheine, seine Fälligkeitstermine und seine Gage-R&R-Studien. So können Sie zeigen, dass das Messmittel hinter einer Fähigkeitsuntersuchung kalibriert war, als die Daten erfasst wurden.