O que é a fórmula de Welch-Satterthwaite?

A fórmula de Welch-Satterthwaite estima os graus de liberdade efetivos de uma incerteza-padrão combinada. É v_eff = u_c^4 dividido pela soma de u_i^4 / v_i, onde u_c é a incerteza-padrão combinada, cada u_i é a incerteza-padrão de um componente e cada v_i é o número de graus de liberdade desse componente. O objetivo é resumir em um único número quanta informação sustenta a incerteza combinada, para que um fator de abrangência defensável possa ser lido da distribuição t de Student. Ela está no GUM (JCGM 100:2008), seção G.4.1.

O que são graus de liberdade efetivos, e por que importam?

Os graus de liberdade efetivos descrevem quão bem determinada está a incerteza-padrão combinada. Uma incerteza combinada construída sobretudo a partir de poucas leituras repetidas é menos certa do que uma construída a partir de amostras grandes ou de referências bem caracterizadas, e o valor de Welch-Satterthwaite captura isso. Importa porque o fator de abrangência para um dado nível de confiança depende dele: menos graus de liberdade efetivos significam um k maior para a mesma abrangência de 95%. Quando um ou dois componentes do Tipo A com poucos dados dominam o balanço, v_eff é pequeno e k sobe acima de 2.

Como escolho os graus de liberdade de cada componente?

Um componente do Tipo A avaliado a partir de n leituras repetidas tem v = n - 1. Um componente do Tipo B cujo limite é bem conhecido (um passo de resolução, um valor de certificado com k declarado) costuma ser tomado como tendo graus de liberdade infinitos, para que não puxe o valor efetivo para baixo. O GUM, na seção G.4.2, também dá uma forma de atribuir um valor finito a um componente do Tipo B a partir de quão bem você conhece a incerteza dele, aproximadamente v_i = 1 / (2 vezes a incerteza relativa de u_i ao quadrado). Atribuir esses valores é um julgamento do seu laboratório. Esta ferramenta aplica os números que você informa.

Por que o fator de abrangência k nem sempre é 2?

Um fator de abrangência k = 2 dá cerca de 95% de abrangência só quando a distribuição combinada é aproximadamente normal, o que é razoável quando muitos componentes comparáveis se combinam e os graus de liberdade efetivos são grandes. Quando os graus de liberdade efetivos são pequenos, o resultado combinado segue uma distribuição t de Student com caudas mais pesadas, então é preciso um fator maior para manter 95% de abrangência. Conforme v_eff cresce, o fator t de Student cai em direção ao valor normal 1,960, e é por isso que k fica perto de 2 para balanços bem determinados e mais alto para balanços pobres em dados.

Esta calculadora usa confiança de 95% ou 95,45%?

Ele usa um nível de confiança bilateral de 95,00%, o valor t de Student t_0,975 pelos graus de liberdade, que converge para 1,960 conforme os graus de liberdade efetivos crescem. Alguns exemplos do GUM usam um nível de 95,45%, para o qual o fator normal é exatamente 2,000, então os fatores saem um pouco maiores. Esta ferramenta declara a convenção de 95% com clareza para que você a compare com a sua própria política. Se o seu sistema da qualidade fixa um nível diferente, trate o k informado aqui como o valor bilateral de 95%, e não como substituto da sua regra declarada.

Como isto se relaciona com a calculadora de balanço de incertezas?

A calculadora de balanço de incertezas combina seus componentes por raiz da soma dos quadrados em uma incerteza-padrão combinada e a expande com um fator de abrangência que você escolhe, e deixa os graus de liberdade de fora de propósito. Esta calculadora é esse passo que falta: traga a incerteza-padrão de cada componente e seus graus de liberdade para cá e obtenha os graus de liberdade efetivos e um fator de abrangência lido do t de Student, em vez de assumir k = 2. Usadas em conjunto, elas dão uma incerteza combinada e uma incerteza expandida com um k defensável.

Calculadora de Welch-Satterthwaite

Informe cada componente de incerteza como uma incerteza-padrão com seus graus de liberdade e obtenha a incerteza-padrão combinada, os graus de liberdade efetivos, o fator de abrangência k pelo t de Student e a incerteza expandida U. Usa o método de Welch-Satterthwaite do GUM (JCGM 100:2008). Tudo roda no seu navegador. Sem barreira de e-mail e sem cadastro.

Componentes de incerteza

Informe cada componente como uma incerteza-padrão u (não um valor expandido) e seus graus de liberdade. Para um limite do Tipo B bem conhecido, informe inf nos graus de liberdade.

Entrada de componentes de incerteza: incerteza-padrão e graus de liberdade
Componente	Incerteza-padrão u	Graus de liberdade v (n−1, ou inf)	Remover

Componentes do Tipo A avaliados a partir de n leituras repetidas têm v = n − 1. Componentes do Tipo B com um limite bem caracterizado costumam ser informados com graus de liberdade infinitos (inf), para que não puxem o valor efetivo para baixo.

Unidades (opcional)

Todos os componentes precisam estar nas mesmas unidades.

Nível de confiança

95%, bilateral (t de Student, t_0.975)

k converge para 1,960 conforme os graus de liberdade efetivos crescem.

Resultado

Método: Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008), seção G.4. u_c = √(Σ u_i²) para componentes independentes; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i); k = t a 95% bilateral para v_eff (convergindo para 1,960); U = k · u_c. Os graus de liberdade são atribuídos por você; correlações entre componentes não são modeladas.

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Graus de liberdade efetivos, em termos simples

Por que um k = 2 fixo nem sempre basta

A incerteza expandida é U = k vezes a incerteza-padrão combinada. Com k = 2 esse intervalo cobre cerca de 95% dos resultados, mas só quando a distribuição combinada é próxima da normal, o que vale quando vários componentes comparáveis se combinam e cada um está bem determinado. Quando o balanço se apoia em um punhado de leituras repetidas, a própria incerteza combinada é incerta, e o fator de abrangência honesto é um pouco maior que 2. Os graus de liberdade efetivos são a forma como o GUM transforma essa ideia em um número.

A fórmula de Welch-Satterthwaite

Cada componente carrega seus próprios graus de liberdade v_i: um termo do Tipo A avaliado a partir de n leituras tem v = n − 1, e um termo do Tipo B bem conhecido costuma ser tratado como tendo graus de liberdade infinitos. A incerteza-padrão combinada é u_c = √(Σ u_i²), e os graus de liberdade efetivos são v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Como cada termo é elevado à quarta potência, o componente que é ao mesmo tempo grande e pobre em dados domina o denominador, e é ele que segura o valor efetivo para baixo. Um componente com graus de liberdade infinitos não acrescenta nada ao denominador, então referências e passos de resolução não penalizam você.

Lendo o fator de abrangência no t de Student

Uma vez que você tem os graus de liberdade efetivos, o fator de abrangência para 95% de abrangência é o valor t de Student bilateral, t_0,975, para esse número de graus de liberdade. Ele é cerca de 2,23 perto de dez graus de liberdade, passa por 2,09 perto de vinte e 2,04 perto de trinta, e se acomoda em direção ao valor normal 1,960 conforme os graus de liberdade ficam grandes. Esta ferramenta lê k de uma tabela t bilateral de 95% com interpolação, e é por isso que um balanço pobre em dados devolve um fator acima de 2 e um bem determinado devolve um fator perto disso.

O que esta ferramenta deixa com você

Duas coisas ficam de propósito com você. Os graus de liberdade por trás de cada componente são um julgamento: v = n − 1 para um termo do Tipo A é claro, mas o valor para um termo do Tipo B depende de quão bem você conhece a incerteza dele (o GUM dá um método na seção G.4.2), e uma atribuição errada move v_eff. E esta calculadora combina os componentes como incertezas-padrão independentes, então não soma termos de covariância para fontes que se movem juntas. Confirme que os seus componentes não são correlacionados antes de confiar no valor combinado. Ela informa um fator bilateral de 95% e declara o método em vez de escolher a sua política. Referências: JCGM 100:2008 (GUM), Anexo G; ISO/IEC 17025:2017.

Perguntas frequentes

O que é a fórmula de Welch-Satterthwaite?

A fórmula de Welch-Satterthwaite estima os graus de liberdade efetivos de uma incerteza-padrão combinada. É v_eff = u_c^4 dividido pela soma de u_i^4 / v_i, onde u_c é a incerteza-padrão combinada, cada u_i é a incerteza-padrão de um componente e cada v_i é o número de graus de liberdade desse componente. O objetivo é resumir em um único número quanta informação sustenta a incerteza combinada, para que um fator de abrangência defensável possa ser lido da distribuição t de Student. Ela está no GUM (JCGM 100:2008), seção G.4.1.
O que são graus de liberdade efetivos, e por que importam?

Os graus de liberdade efetivos descrevem quão bem determinada está a incerteza-padrão combinada. Uma incerteza combinada construída sobretudo a partir de poucas leituras repetidas é menos certa do que uma construída a partir de amostras grandes ou de referências bem caracterizadas, e o valor de Welch-Satterthwaite captura isso. Importa porque o fator de abrangência para um dado nível de confiança depende dele: menos graus de liberdade efetivos significam um k maior para a mesma abrangência de 95%. Quando um ou dois componentes do Tipo A com poucos dados dominam o balanço, v_eff é pequeno e k sobe acima de 2.
Como escolho os graus de liberdade de cada componente?

Um componente do Tipo A avaliado a partir de n leituras repetidas tem v = n - 1. Um componente do Tipo B cujo limite é bem conhecido (um passo de resolução, um valor de certificado com k declarado) costuma ser tomado como tendo graus de liberdade infinitos, para que não puxe o valor efetivo para baixo. O GUM, na seção G.4.2, também dá uma forma de atribuir um valor finito a um componente do Tipo B a partir de quão bem você conhece a incerteza dele, aproximadamente v_i = 1 / (2 vezes a incerteza relativa de u_i ao quadrado). Atribuir esses valores é um julgamento do seu laboratório. Esta ferramenta aplica os números que você informa.
Por que o fator de abrangência k nem sempre é 2?

Um fator de abrangência k = 2 dá cerca de 95% de abrangência só quando a distribuição combinada é aproximadamente normal, o que é razoável quando muitos componentes comparáveis se combinam e os graus de liberdade efetivos são grandes. Quando os graus de liberdade efetivos são pequenos, o resultado combinado segue uma distribuição t de Student com caudas mais pesadas, então é preciso um fator maior para manter 95% de abrangência. Conforme v_eff cresce, o fator t de Student cai em direção ao valor normal 1,960, e é por isso que k fica perto de 2 para balanços bem determinados e mais alto para balanços pobres em dados.
Esta calculadora usa confiança de 95% ou 95,45%?

Ele usa um nível de confiança bilateral de 95,00%, o valor t de Student t_0,975 pelos graus de liberdade, que converge para 1,960 conforme os graus de liberdade efetivos crescem. Alguns exemplos do GUM usam um nível de 95,45%, para o qual o fator normal é exatamente 2,000, então os fatores saem um pouco maiores. Esta ferramenta declara a convenção de 95% com clareza para que você a compare com a sua própria política. Se o seu sistema da qualidade fixa um nível diferente, trate o k informado aqui como o valor bilateral de 95%, e não como substituto da sua regra declarada.
Como isto se relaciona com a calculadora de balanço de incertezas?

A calculadora de balanço de incertezas combina seus componentes por raiz da soma dos quadrados em uma incerteza-padrão combinada e a expande com um fator de abrangência que você escolhe, e deixa os graus de liberdade de fora de propósito. Esta calculadora é esse passo que falta: traga a incerteza-padrão de cada componente e seus graus de liberdade para cá e obtenha os graus de liberdade efetivos e um fator de abrangência lido do t de Student, em vez de assumir k = 2. Usadas em conjunto, elas dão uma incerteza combinada e uma incerteza expandida com um k defensável.

Esta calculadora aplica a fórmula de Welch-Satterthwaite aos componentes que você informa e devolve a incerteza-padrão combinada, os graus de liberdade efetivos, um fator de abrangência bilateral de 95% e a incerteza expandida. Ela não escolhe os seus graus de liberdade, não modela correlações entre componentes e não substitui o JCGM 100:2008 nem a ISO/IEC 17025. Trate o resultado como uma estimativa de trabalho e valide-o contra o seu procedimento de incerteza documentado antes de usá-lo.

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