Welch-Satterthwaite-Rechner
Geben Sie jeden Unsicherheitsbeitrag als Standardmessunsicherheit mit seinen Freiheitsgraden ein und erhalten Sie die kombinierte Standardmessunsicherheit, die effektiven Freiheitsgrade, den Erweiterungsfaktor k aus der Student-t-Verteilung und die erweiterte Messunsicherheit U. Verwendet die Welch-Satterthwaite-Methode aus dem GUM (JCGM 100:2008). Alles läuft in Ihrem Browser. Keine E-Mail-Schranke, keine Anmeldung.
Unsicherheitsbeiträge
Geben Sie jeden Beitrag als Standardmessunsicherheit u ein, nicht als erweiterten Wert, dazu seine Freiheitsgrade. Für eine gut bekannte Grenze vom Typ B tragen Sie bei den Freiheitsgraden inf ein.
| Beitrag | Standardmessunsicherheit u | Freiheitsgrade v (n−1, oder inf) | Entfernen |
|---|
Beiträge vom Typ A, ermittelt aus n wiederholten Messwerten, haben v = n − 1. Beiträge vom Typ B mit einer gut charakterisierten Grenze werden üblicherweise mit unendlichen Freiheitsgraden eingetragen (inf) und ziehen den effektiven Wert damit nicht herunter.
Alle Beiträge müssen dieselben Einheiten haben.
k nähert sich 1,960, wenn die effektiven Freiheitsgrade wachsen.
Ergebnis
Methode: Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008) Abschnitt G.4. u_c = √(Σ u_i²) für unabhängige Beiträge; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i); k = t bei 95 % zweiseitig für v_eff (nähert sich 1,960); U = k · u_c. Die Freiheitsgrade weisen Sie selbst zu. Korrelationen zwischen Beiträgen werden nicht abgebildet.
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Warum ein festes k = 2 nicht immer genügt
Die erweiterte Messunsicherheit ist U = k mal die kombinierte Standardmessunsicherheit. Mit k = 2 überdeckt dieses Intervall rund 95 % der Ergebnisse, aber nur, wenn die kombinierte Verteilung nahe an der Normalverteilung liegt. Das gilt, wenn mehrere vergleichbare Beiträge zusammenkommen und jeder gut bestimmt ist. Stützt sich das Budget auf eine Handvoll wiederholter Messwerte, ist die kombinierte Unsicherheit selbst unsicher, und der ehrliche Erweiterungsfaktor ist etwas größer als 2. Mit den effektiven Freiheitsgraden macht der GUM aus diesem Gedanken eine Zahl.
Die Welch-Satterthwaite-Formel
Jeder Beitrag trägt seine eigenen Freiheitsgrade v_i: Ein Term vom Typ A, ermittelt aus n Messwerten, hat v = n − 1, und ein gut bekannter Term vom Typ B wird üblicherweise mit unendlichen Freiheitsgraden geführt. Die kombinierte Standardmessunsicherheit ist u_c = √(Σ u_i²), und die effektiven Freiheitsgrade sind v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Weil jeder Term in die vierte Potenz geht, beherrscht der Beitrag den Nenner, der zugleich groß und dünn an Daten ist, und genau er hält den effektiven Wert unten. Ein Beitrag mit unendlichen Freiheitsgraden trägt nichts zum Nenner bei, Normale und Auflösungsschritte kosten Sie also nichts.
Den Erweiterungsfaktor aus der Student-t-Verteilung ablesen
Sobald Sie die effektiven Freiheitsgrade haben, ist der Erweiterungsfaktor für 95 % Überdeckung der zweiseitige Student-t-Wert t0,975 bei dieser Zahl von Freiheitsgraden. Er liegt bei rund zehn Freiheitsgraden bei etwa 2,23, fällt bei rund zwanzig auf 2,09 und bei rund dreißig auf 2,04 und nähert sich mit wachsenden Freiheitsgraden dem Normalwert 1,960. Dieser Rechner liest k mit Interpolation aus einer zweiseitigen 95-%-t-Tabelle. Deshalb liefert ein dünnes Budget einen Faktor über 2 und ein gut bestimmtes einen Faktor nahe daran.
Was dieser Rechner Ihnen überlässt
Zwei Dinge bleiben bewusst bei Ihnen. Die Freiheitsgrade hinter jedem Beitrag sind eine Entscheidung: v = n − 1 für einen Term vom Typ A ist klar, der Wert für einen Term vom Typ B hängt aber davon ab, wie gut Sie dessen eigene Unsicherheit kennen (der GUM gibt in Abschnitt G.4.2 ein Verfahren an), und eine falsche Zuweisung verschiebt v_eff. Und dieser Rechner verbindet die Beiträge als unabhängige Standardmessunsicherheiten, er ergänzt also keine Kovarianzterme für Quellen, die sich gemeinsam bewegen. Stellen Sie sicher, dass Ihre Beiträge unkorreliert sind, bevor Sie sich auf den kombinierten Wert verlassen. Er gibt einen zweiseitigen Faktor für 95 % aus und nennt seine Methode, statt Ihre Vorgabe zu wählen. Quellen: JCGM 100:2008 (GUM), Anhang G; DIN EN ISO/IEC 17025:2018.
Häufige Fragen
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Wie lautet die Welch-Satterthwaite-Formel?
Die Welch-Satterthwaite-Formel schätzt die effektiven Freiheitsgrade einer kombinierten Standardmessunsicherheit. Sie lautet v_eff = u_c^4 geteilt durch die Summe der u_i^4 / v_i, wobei u_c die kombinierte Standardmessunsicherheit ist, jedes u_i die Standardmessunsicherheit eines Beitrags und jedes v_i dessen Freiheitsgrade. Der Zweck ist, in einer Zahl zusammenzufassen, wie viele Daten hinter der kombinierten Unsicherheit stehen, damit sich ein belastbarer Erweiterungsfaktor aus der Student-t-Verteilung ablesen lässt. Der GUM (JCGM 100:2008) gibt sie in Abschnitt G.4.1 an.
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Was sind effektive Freiheitsgrade, und warum zählen sie?
Die effektiven Freiheitsgrade beschreiben, wie gut die kombinierte Standardmessunsicherheit bestimmt ist. Eine kombinierte Unsicherheit, die überwiegend aus wenigen wiederholten Messwerten stammt, ist unsicherer als eine aus großen Stichproben oder gut charakterisierten Normalen, und der Welch-Satterthwaite-Wert erfasst das. Es zählt, weil der Erweiterungsfaktor für ein gegebenes Vertrauensniveau davon abhängt: Weniger effektive Freiheitsgrade bedeuten ein größeres k für dieselben 95 % Überdeckung. Beherrschen ein oder zwei Beiträge vom Typ A mit wenig Daten das Budget, ist v_eff klein und k steigt über 2.
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Wie wähle ich die Freiheitsgrade für jeden Beitrag?
Ein Beitrag vom Typ A, ermittelt aus n wiederholten Messwerten, hat v = n - 1. Ein Beitrag vom Typ B, dessen Grenze gut bekannt ist (ein Auflösungsschritt, ein Wert aus einem Kalibrierschein bei angegebenem k), wird üblicherweise mit unendlichen Freiheitsgraden geführt und zieht den effektiven Wert damit nicht herunter. Der GUM gibt in Abschnitt G.4.2 auch einen Weg an, einem Beitrag vom Typ B einen endlichen Wert zuzuweisen, abgeleitet daraus, wie gut Sie dessen eigene Unsicherheit kennen, näherungsweise v_i = 1 / (2 mal die relative Unsicherheit von u_i zum Quadrat). Diese Zuweisung ist eine Entscheidung Ihres Labors. Dieser Rechner verwendet die Zahlen, die Sie eingeben.
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Warum ist der Erweiterungsfaktor k nicht immer 2?
Ein Erweiterungsfaktor k = 2 überdeckt nur dann rund 95 %, wenn die kombinierte Verteilung näherungsweise normal ist. Das ist plausibel, wenn viele vergleichbare Beiträge zusammenkommen und die effektiven Freiheitsgrade groß sind. Sind die effektiven Freiheitsgrade klein, folgt das kombinierte Ergebnis einer Student-t-Verteilung mit schwereren Rändern, und es braucht einen größeren Faktor, um 95 % Überdeckung zu halten. Mit wachsendem v_eff fällt der Student-t-Faktor zum Normalwert 1,960. Deshalb liegt k bei gut bestimmten Budgets nahe 2 und bei dünnen höher.
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Rechnet dieser Rechner mit 95 % oder mit 95,45 % Vertrauensniveau?
Er rechnet mit einem zweiseitigen Vertrauensniveau von 95,00 %, dem Student-t-Wert t_0,975 nach Freiheitsgraden, der sich mit wachsenden effektiven Freiheitsgraden dem Wert 1,960 nähert. Manche Beispiele im GUM nutzen stattdessen 95,45 %, wozu der Normalfaktor genau 2,000 gehört, sodass die Faktoren etwas größer ausfallen. Dieser Rechner nennt die 95-%-Konvention offen, damit Sie sie mit Ihrer eigenen Vorgabe vergleichen können. Legt Ihr Qualitätsmanagementsystem ein anderes Niveau fest, verstehen Sie das hier ausgewiesene k als Wert für zweiseitige 95 % und nicht als Ersatz für Ihre festgelegte Regel.
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Wie hängt das mit dem Rechner für das Unsicherheitsbudget zusammen?
Der Rechner für das Unsicherheitsbudget verbindet Ihre Beiträge quadratisch zu einer kombinierten Standardmessunsicherheit und erweitert sie mit einem Erweiterungsfaktor Ihrer Wahl. Die Freiheitsgrade lässt er bewusst außen vor. Dieser Rechner ist der fehlende Schritt: Bringen Sie jede Standardmessunsicherheit mit ihren Freiheitsgraden hierher und Sie erhalten die effektiven Freiheitsgrade und einen Erweiterungsfaktor aus der Student-t-Verteilung, statt k = 2 anzunehmen. Zusammen ergeben beide eine kombinierte Messunsicherheit und eine erweiterte Messunsicherheit mit einem belastbaren k.
Dieser Rechner wendet die Welch-Satterthwaite-Formel auf die Beiträge an, die Sie eingeben, und gibt die kombinierte Standardmessunsicherheit, die effektiven Freiheitsgrade, einen zweiseitigen Erweiterungsfaktor für 95 % und die erweiterte Messunsicherheit aus. Er wählt Ihre Freiheitsgrade nicht, bildet keine Korrelationen zwischen Beiträgen ab und ersetzt weder JCGM 100:2008 noch DIN EN ISO/IEC 17025. Behandeln Sie das Ergebnis als Arbeitsschätzung und gleichen Sie es mit Ihrem dokumentierten Unsicherheitsverfahren ab, bevor Sie es verwenden.
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