Quelle est la formule de Welch-Satterthwaite ?

La formule de Welch-Satterthwaite estime les degrés de liberté effectifs d'une incertitude-type composée. Elle s'écrit v_eff = u_c^4 divisé par la somme des u_i^4 / v_i, où u_c est l'incertitude-type composée, chaque u_i une incertitude-type de composante, et chaque v_i les degrés de liberté de cette composante. Le but est de résumer en un seul chiffre la quantité de données qui soutient l'incertitude composée, afin de lire un facteur d'élargissement défendable sur la loi de Student. Elle figure au GUM (JCGM 100:2008), clause G.4.1.

Que sont les degrés de liberté effectifs, et pourquoi comptent-ils ?

Les degrés de liberté effectifs décrivent avec quelle sûreté l'incertitude-type composée est déterminée. Une incertitude composée bâtie surtout sur quelques relevés répétés est moins sûre qu'une incertitude bâtie sur de grands échantillons ou des étalons bien caractérisés, et la valeur de Welch-Satterthwaite traduit cela. Elle compte parce que le facteur d'élargissement pour un niveau de confiance donné en dépend : moins de degrés de liberté effectifs, donc un k plus grand pour la même couverture à 95 %. Quand une ou deux composantes de Type A peu fournies en données dominent le bilan, v_eff est petit et k passe au-dessus de 2.

Comment choisir les degrés de liberté de chaque composante ?

Une composante de Type A évaluée sur n relevés répétés a v = n - 1. Une composante de Type B dont la limite est bien connue (un pas de résolution, une valeur de certificat à un k annoncé) est couramment prise avec des degrés de liberté infinis, si bien qu'elle ne tire pas la valeur effective vers le bas. Le GUM, à la clause G.4.2, donne aussi une façon d'attribuer une valeur finie à une composante de Type B à partir de la finesse avec laquelle vous connaissez sa propre incertitude, en gros v_i = 1 / (2 fois l'incertitude relative de u_i au carré). Attribuer ces valeurs relève du jugement de votre laboratoire. Cet outil applique les chiffres que vous saisissez.

Pourquoi le facteur d'élargissement k ne vaut-il pas toujours 2 ?

Un facteur d'élargissement k = 2 ne donne environ 95 % de couverture que si la distribution composée est à peu près normale, ce qui est raisonnable quand plusieurs composantes comparables se combinent et que les degrés de liberté effectifs sont élevés. Quand les degrés de liberté effectifs sont faibles, le résultat composé suit une loi de Student à queues plus lourdes, et il faut un facteur plus grand pour tenir les 95 % de couverture. À mesure que v_eff augmente, le facteur t de Student descend vers la valeur normale 1,960. C'est pourquoi k est proche de 2 pour un bilan bien déterminé et plus haut pour un bilan maigre.

Ce calculateur utilise-t-il un niveau de confiance de 95 % ou de 95,45 % ?

Il emploie un niveau de confiance bilatéral de 95,00 %, la valeur t de Student t_0,975 selon les degrés de liberté, qui converge vers 1,960 quand les degrés de liberté effectifs augmentent. Certains exemples du GUM emploient plutôt un niveau de 95,45 %, pour lequel le facteur normal vaut exactement 2,000, et les facteurs ressortent donc un peu plus grands. Cet outil annonce clairement la convention 95 % pour que vous puissiez la comparer à votre propre politique. Si votre système qualité fixe un autre niveau, traitez le k donné ici comme le chiffre bilatéral à 95 % et non comme un remplacement de votre règle.

Quel est le lien avec le calculateur de bilan d'incertitude ?

Le calculateur de bilan d'incertitude combine vos composantes par racine de la somme des carrés en une incertitude-type composée et l'élargit au facteur d'élargissement que vous choisissez, en laissant délibérément les degrés de liberté de côté. Ce calculateur-ci est l'étape manquante : apportez ici chaque incertitude-type de composante avec ses degrés de liberté pour obtenir les degrés de liberté effectifs et un facteur d'élargissement lu sur le t de Student, au lieu de supposer k = 2. Utilisés ensemble, ils donnent une incertitude composée et une incertitude élargie avec un k défendable.

Calculateur Welch-Satterthwaite

Saisissez chaque composante d'incertitude comme une incertitude-type avec ses degrés de liberté et obtenez l'incertitude-type composée, les degrés de liberté effectifs, le facteur d'élargissement k tiré du t de Student, et l'incertitude élargie U. Emploie la méthode de Welch-Satterthwaite du GUM (JCGM 100:2008). Tout s'exécute dans votre navigateur. Sans formulaire e-mail, sans inscription.

Composantes d'incertitude

Saisissez chaque composante comme une incertitude-type u (pas une valeur élargie) avec ses degrés de liberté. Pour une limite de Type B bien connue, saisissez inf en degrés de liberté.

Saisie d'une composante d'incertitude : incertitude-type et degrés de liberté
Composante	Incertitude-type u	Degrés de liberté v (n−1, ou inf)	Supprimer

Les composantes de Type A évaluées sur n relevés répétés ont v = n − 1. Les composantes de Type B dont la limite est bien caractérisée sont couramment saisies avec des degrés de liberté infinis (inf), pour ne pas tirer la valeur effective vers le bas.

Unités (facultatif)

Toutes les composantes doivent être dans les mêmes unités.

Niveau de confiance

95 %, bilatéral (t de Student, t_0.975)

k converge vers 1,960 quand les degrés de liberté effectifs augmentent.

Résultat

Méthode : Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008) clause G.4. u_c = √(Σ u_i²) pour des composantes indépendantes ; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i) ; k = t à 95 % bilatéral pour v_eff (convergeant vers 1,960) ; U = k · u_c. Les degrés de liberté sont à vous d'attribuer. Les corrélations entre composantes ne sont pas modélisées.

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Les degrés de liberté effectifs, en clair

Pourquoi un k = 2 figé ne suffit pas toujours

L'incertitude élargie vaut U = k fois l'incertitude-type composée. Avec k = 2, cet intervalle couvre environ 95 % des résultats, mais seulement si la distribution composée est proche de la normale, ce qui tient quand plusieurs composantes comparables se combinent et que chacune est bien déterminée. Quand le bilan repose sur une poignée de relevés répétés, l'incertitude composée est elle-même incertaine, et le facteur d'élargissement honnête est un peu supérieur à 2. Les degrés de liberté effectifs sont la façon dont le GUM met cette idée en chiffres.

La formule de Welch-Satterthwaite

Chaque composante porte ses propres degrés de liberté v_i : un terme de Type A évalué sur n relevés a v = n − 1, et un terme de Type B bien connu est en général traité comme ayant des degrés de liberté infinis. L'incertitude-type composée vaut u_c = √(Σ u_i²), et les degrés de liberté effectifs valent v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Comme chaque terme est élevé à la puissance quatre, la composante à la fois grande et pauvre en données domine le dénominateur, et c'est elle qui retient la valeur effective vers le bas. Une composante à degrés de liberté infinis n'ajoute rien au dénominateur : les étalons et les pas de résolution ne vous pénalisent donc pas.

Lire le facteur d'élargissement sur le t de Student

Une fois les degrés de liberté effectifs connus, le facteur d'élargissement pour une couverture de 95 % est la valeur bilatérale du t de Student, t_0,975, à ce nombre de degrés de liberté. Il vaut environ 2,23 vers dix degrés de liberté, passe par 2,09 vers vingt et 2,04 vers trente, et se stabilise vers la valeur normale 1,960 quand les degrés de liberté deviennent grands. Cet outil lit k dans une table t bilatérale à 95 % avec interpolation, et c'est pourquoi un bilan maigre renvoie un facteur supérieur à 2 et un bilan bien déterminé un facteur proche de 2.

Ce que cet outil vous laisse

Deux choses vous reviennent délibérément. Les degrés de liberté de chaque composante relèvent du jugement : v = n − 1 pour un terme de Type A est clair, mais la valeur d'un terme de Type B dépend de la finesse avec laquelle vous connaissez sa propre incertitude (le GUM donne une méthode à la clause G.4.2), et une mauvaise attribution déplace v_eff. Ensuite, ce calculateur combine les composantes comme des incertitudes-types indépendantes, sans ajouter de termes de covariance pour des sources qui varient ensemble. Vérifiez que vos composantes sont décorrélées avant de vous fier au chiffre composé. Il donne un facteur bilatéral à 95 % et annonce sa méthode plutôt que de choisir votre politique. Références : JCGM 100:2008 (GUM), annexe G ; ISO/IEC 17025:2017.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de Welch-Satterthwaite ?

La formule de Welch-Satterthwaite estime les degrés de liberté effectifs d'une incertitude-type composée. Elle s'écrit v_eff = u_c^4 divisé par la somme des u_i^4 / v_i, où u_c est l'incertitude-type composée, chaque u_i une incertitude-type de composante, et chaque v_i les degrés de liberté de cette composante. Le but est de résumer en un seul chiffre la quantité de données qui soutient l'incertitude composée, afin de lire un facteur d'élargissement défendable sur la loi de Student. Elle figure au GUM (JCGM 100:2008), clause G.4.1.
Que sont les degrés de liberté effectifs, et pourquoi comptent-ils ?

Les degrés de liberté effectifs décrivent avec quelle sûreté l'incertitude-type composée est déterminée. Une incertitude composée bâtie surtout sur quelques relevés répétés est moins sûre qu'une incertitude bâtie sur de grands échantillons ou des étalons bien caractérisés, et la valeur de Welch-Satterthwaite traduit cela. Elle compte parce que le facteur d'élargissement pour un niveau de confiance donné en dépend : moins de degrés de liberté effectifs, donc un k plus grand pour la même couverture à 95 %. Quand une ou deux composantes de Type A peu fournies en données dominent le bilan, v_eff est petit et k passe au-dessus de 2.
Comment choisir les degrés de liberté de chaque composante ?

Une composante de Type A évaluée sur n relevés répétés a v = n - 1. Une composante de Type B dont la limite est bien connue (un pas de résolution, une valeur de certificat à un k annoncé) est couramment prise avec des degrés de liberté infinis, si bien qu'elle ne tire pas la valeur effective vers le bas. Le GUM, à la clause G.4.2, donne aussi une façon d'attribuer une valeur finie à une composante de Type B à partir de la finesse avec laquelle vous connaissez sa propre incertitude, en gros v_i = 1 / (2 fois l'incertitude relative de u_i au carré). Attribuer ces valeurs relève du jugement de votre laboratoire. Cet outil applique les chiffres que vous saisissez.
Pourquoi le facteur d'élargissement k ne vaut-il pas toujours 2 ?

Un facteur d'élargissement k = 2 ne donne environ 95 % de couverture que si la distribution composée est à peu près normale, ce qui est raisonnable quand plusieurs composantes comparables se combinent et que les degrés de liberté effectifs sont élevés. Quand les degrés de liberté effectifs sont faibles, le résultat composé suit une loi de Student à queues plus lourdes, et il faut un facteur plus grand pour tenir les 95 % de couverture. À mesure que v_eff augmente, le facteur t de Student descend vers la valeur normale 1,960. C'est pourquoi k est proche de 2 pour un bilan bien déterminé et plus haut pour un bilan maigre.
Ce calculateur utilise-t-il un niveau de confiance de 95 % ou de 95,45 % ?

Il emploie un niveau de confiance bilatéral de 95,00 %, la valeur t de Student t_0,975 selon les degrés de liberté, qui converge vers 1,960 quand les degrés de liberté effectifs augmentent. Certains exemples du GUM emploient plutôt un niveau de 95,45 %, pour lequel le facteur normal vaut exactement 2,000, et les facteurs ressortent donc un peu plus grands. Cet outil annonce clairement la convention 95 % pour que vous puissiez la comparer à votre propre politique. Si votre système qualité fixe un autre niveau, traitez le k donné ici comme le chiffre bilatéral à 95 % et non comme un remplacement de votre règle.
Quel est le lien avec le calculateur de bilan d'incertitude ?

Le calculateur de bilan d'incertitude combine vos composantes par racine de la somme des carrés en une incertitude-type composée et l'élargit au facteur d'élargissement que vous choisissez, en laissant délibérément les degrés de liberté de côté. Ce calculateur-ci est l'étape manquante : apportez ici chaque incertitude-type de composante avec ses degrés de liberté pour obtenir les degrés de liberté effectifs et un facteur d'élargissement lu sur le t de Student, au lieu de supposer k = 2. Utilisés ensemble, ils donnent une incertitude composée et une incertitude élargie avec un k défendable.

Ce calculateur applique la formule de Welch-Satterthwaite aux composantes que vous saisissez et donne l'incertitude-type composée, les degrés de liberté effectifs, un facteur d'élargissement bilatéral à 95 % et l'incertitude élargie. Il ne choisit pas vos degrés de liberté, ne modélise pas les corrélations entre composantes, et ne remplace ni le JCGM 100:2008 ni l'ISO/IEC 17025. Traitez le résultat comme une estimation de travail et validez-le face à votre procédure d'incertitude documentée avant de l'utiliser.

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