Qu'est-ce que la formule de Welch-Satterthwaite?

La formule de Welch-Satterthwaite estime les degrés de liberté effectifs d'une incertitude-type composée. Elle s'écrit v_eff = u_c^4 divisé par la somme des u_i^4 / v_i, où u_c est l'incertitude-type composée, chaque u_i est l'incertitude-type d'une composante et chaque v_i est le nombre de degrés de liberté de cette composante. L'idée est de résumer en un seul nombre la quantité de données derrière l'incertitude composée, pour qu'un facteur d'élargissement défendable puisse être lu sur la distribution t de Student. Elle est donnée dans le GUM (JCGM 100:2008) à l'article G.4.1.

Que sont les degrés de liberté effectifs et pourquoi comptent-ils?

Les degrés de liberté effectifs disent à quel point l'incertitude-type composée est bien déterminée. Une incertitude composée bâtie surtout sur quelques lectures répétées est moins sûre qu'une incertitude bâtie sur de grands échantillons ou des étalons bien caractérisés, et la valeur de Welch-Satterthwaite saisit cela. Cela compte parce que le facteur d'élargissement pour un niveau de confiance donné en dépend : moins de degrés de liberté effectifs veut dire un k plus grand pour la même couverture de 95 %. Quand une ou deux composantes de type A avec peu de données dominent le budget, v_eff est petit et k monte au-dessus de 2.

Comment choisir les degrés de liberté de chaque composante?

Une composante de type A évaluée à partir de n lectures répétées a v = n - 1. Une composante de type B dont la limite est bien connue (un pas de résolution, une valeur de certificat à un k énoncé) est couramment prise comme ayant des degrés de liberté infinis, donc elle ne tire pas la valeur effective vers le bas. Le GUM, à l'article G.4.2, donne aussi une façon d'attribuer une valeur finie à une composante de type B selon la qualité de connaissance de sa propre incertitude, soit environ v_i = 1 / (2 fois l'incertitude relative de u_i au carré). L'attribution de ces valeurs est un jugement qui appartient à votre laboratoire; cet outil applique les nombres que vous entrez.

Pourquoi le facteur d'élargissement k ne vaut-il pas toujours 2?

Un facteur d'élargissement k = 2 donne environ 95 % de couverture seulement quand la distribution composée est à peu près normale, ce qui est raisonnable quand plusieurs composantes comparables se combinent et que les degrés de liberté effectifs sont nombreux. Quand les degrés de liberté effectifs sont peu nombreux, le résultat composé suit une distribution t de Student à queues plus lourdes, donc il faut un facteur plus grand pour garder une couverture de 95 %. À mesure que v_eff augmente, le facteur t de Student descend vers la valeur normale de 1,960. C'est pourquoi k est près de 2 pour les budgets bien déterminés et plus élevé pour les budgets minces.

Ce calculateur utilise-t-il un niveau de confiance de 95 % ou de 95,45 %?

Il utilise un niveau de confiance bilatéral de 95,00 %, la valeur t de Student t_0.975 selon les degrés de liberté, qui converge vers 1,960 quand les degrés de liberté effectifs augmentent. Certains exemples du GUM utilisent plutôt un niveau de 95,45 %, pour lequel le facteur normal vaut exactement 2,000, donc les facteurs y sont un peu plus grands. Cet outil énonce clairement la convention à 95 % pour que vous puissiez la comparer à votre propre politique. Si votre système qualité fixe un autre niveau, traitez le k donné ici comme le chiffre bilatéral à 95 % et non comme un remplacement de votre règle établie.

Quel est le lien avec le calculateur de budget d'incertitude?

Le calculateur de budget d'incertitude combine vos composantes par la racine de la somme des carrés en une incertitude-type composée et l'élargit au facteur d'élargissement de votre choix, en laissant volontairement les degrés de liberté de côté. Ce calculateur-ci est l'étape manquante : apportez ici l'incertitude-type de chaque composante et ses degrés de liberté pour obtenir les degrés de liberté effectifs et un facteur d'élargissement lu sur le t de Student, plutôt que de supposer k = 2. Ensemble, les deux outils donnent une incertitude composée et une incertitude élargie avec un k défendable.

Calculateur Welch-Satterthwaite

Entrez chaque composante d'incertitude comme une incertitude-type avec ses degrés de liberté et obtenez l'incertitude-type composée, les degrés de liberté effectifs, le facteur d'élargissement k tiré du t de Student et l'incertitude élargie U. L'outil applique la méthode de Welch-Satterthwaite du GUM (JCGM 100:2008). Tout s'exécute dans votre navigateur. Aucune adresse courriel à donner, aucune inscription.

Composantes d'incertitude

Entrez chaque composante comme une incertitude-type u (pas une valeur élargie) avec ses degrés de liberté. Pour une limite de type B bien connue, entrez inf comme degrés de liberté.

Saisie des composantes d'incertitude : incertitude-type et degrés de liberté
Composante	Incertitude-type u	Degrés de liberté v (n−1, ou inf)	Retirer

Les composantes de type A évaluées à partir de n lectures répétées ont v = n − 1. Les composantes de type B dont la limite est bien caractérisée sont couramment entrées avec des degrés de liberté infinis (inf), donc elles ne tirent pas la valeur effective vers le bas.

Unités (facultatif)

Toutes les composantes doivent être dans les mêmes unités.

Niveau de confiance

95 %, bilatéral (t de Student, t_0.975)

k converge vers 1,960 à mesure que les degrés de liberté effectifs augmentent.

Résultat

Méthode : Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008) article G.4. u_c = √(Σ u_i²) pour des composantes indépendantes; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i); k = t bilatéral à 95 % pour v_eff (convergeant vers 1,960); U = k · u_c. Les degrés de liberté sont à vous d'attribuer; les corrélations entre composantes ne sont pas modélisées.

Vous combinez des composantes pour un vrai instrument? Axiospec garde le budget d'incertitude avec l'instrument et s'en sert pour le TUR quand un étalonnage ne déclare aucune incertitude qui lui est propre.

Suivez vos instruments gratuitement

Les degrés de liberté effectifs, en clair

Pourquoi un k = 2 fixe ne suffit pas toujours

L'incertitude élargie vaut U = k fois l'incertitude-type composée. Avec k = 2, cet intervalle couvre environ 95 % des résultats, mais seulement quand la distribution composée est proche de la normale, ce qui tient quand plusieurs composantes comparables se combinent et que chacune est bien déterminée. Quand le budget repose sur une poignée de lectures répétées, l'incertitude composée est elle-même incertaine, et le facteur d'élargissement honnête est un peu plus grand que 2. Les degrés de liberté effectifs sont la façon dont le GUM traduit cette idée en nombre.

La formule de Welch-Satterthwaite

Chaque composante porte ses propres degrés de liberté v_i : un terme de type A évalué à partir de n lectures a v = n − 1, et un terme de type B bien connu est habituellement traité comme ayant des degrés de liberté infinis. L'incertitude-type composée est u_c = √(Σ u_i²), et les degrés de liberté effectifs sont v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Comme chaque terme est élevé à la puissance quatre, la composante à la fois grande et pauvre en données domine le dénominateur, et c'est elle qui retient la valeur effective vers le bas. Une composante à degrés de liberté infinis n'ajoute rien au dénominateur, donc les étalons et les pas de résolution ne vous pénalisent pas.

Lire le facteur d'élargissement sur le t de Student

Une fois les degrés de liberté effectifs connus, le facteur d'élargissement pour une couverture de 95 % est la valeur bilatérale du t de Student, t_0,975, à ce nombre de degrés de liberté. Il vaut environ 2,23 vers dix degrés de liberté, passe par 2,09 vers vingt et 2,04 vers trente, puis se rapproche de la valeur normale de 1,960 quand les degrés de liberté deviennent nombreux. Cet outil lit k dans une table t bilatérale à 95 % avec interpolation. C'est pourquoi un budget mince donne un facteur au-dessus de 2 et un budget bien déterminé un facteur tout près.

Ce que cet outil vous laisse

Deux choses vous reviennent délibérément. Les degrés de liberté derrière chaque composante relèvent du jugement : v = n − 1 pour un terme de type A est clair, mais la valeur d'un terme de type B dépend de la qualité de connaissance de sa propre incertitude (le GUM donne une méthode à l'article G.4.2), et une mauvaise attribution déplace v_eff. Par ailleurs, ce calculateur combine les composantes comme des incertitudes-types indépendantes, donc il n'ajoute pas de termes de covariance pour des sources qui varient ensemble. Confirmez que vos composantes ne sont pas corrélées avant de vous fier au chiffre composé. L'outil donne un facteur bilatéral à 95 % et énonce sa méthode plutôt que de choisir votre politique. Références : JCGM 100:2008 (GUM), annexe G; ISO/IEC 17025:2017.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la formule de Welch-Satterthwaite?

La formule de Welch-Satterthwaite estime les degrés de liberté effectifs d'une incertitude-type composée. Elle s'écrit v_eff = u_c^4 divisé par la somme des u_i^4 / v_i, où u_c est l'incertitude-type composée, chaque u_i est l'incertitude-type d'une composante et chaque v_i est le nombre de degrés de liberté de cette composante. L'idée est de résumer en un seul nombre la quantité de données derrière l'incertitude composée, pour qu'un facteur d'élargissement défendable puisse être lu sur la distribution t de Student. Elle est donnée dans le GUM (JCGM 100:2008) à l'article G.4.1.
Que sont les degrés de liberté effectifs et pourquoi comptent-ils?

Les degrés de liberté effectifs disent à quel point l'incertitude-type composée est bien déterminée. Une incertitude composée bâtie surtout sur quelques lectures répétées est moins sûre qu'une incertitude bâtie sur de grands échantillons ou des étalons bien caractérisés, et la valeur de Welch-Satterthwaite saisit cela. Cela compte parce que le facteur d'élargissement pour un niveau de confiance donné en dépend : moins de degrés de liberté effectifs veut dire un k plus grand pour la même couverture de 95 %. Quand une ou deux composantes de type A avec peu de données dominent le budget, v_eff est petit et k monte au-dessus de 2.
Comment choisir les degrés de liberté de chaque composante?

Une composante de type A évaluée à partir de n lectures répétées a v = n - 1. Une composante de type B dont la limite est bien connue (un pas de résolution, une valeur de certificat à un k énoncé) est couramment prise comme ayant des degrés de liberté infinis, donc elle ne tire pas la valeur effective vers le bas. Le GUM, à l'article G.4.2, donne aussi une façon d'attribuer une valeur finie à une composante de type B selon la qualité de connaissance de sa propre incertitude, soit environ v_i = 1 / (2 fois l'incertitude relative de u_i au carré). L'attribution de ces valeurs est un jugement qui appartient à votre laboratoire; cet outil applique les nombres que vous entrez.
Pourquoi le facteur d'élargissement k ne vaut-il pas toujours 2?

Un facteur d'élargissement k = 2 donne environ 95 % de couverture seulement quand la distribution composée est à peu près normale, ce qui est raisonnable quand plusieurs composantes comparables se combinent et que les degrés de liberté effectifs sont nombreux. Quand les degrés de liberté effectifs sont peu nombreux, le résultat composé suit une distribution t de Student à queues plus lourdes, donc il faut un facteur plus grand pour garder une couverture de 95 %. À mesure que v_eff augmente, le facteur t de Student descend vers la valeur normale de 1,960. C'est pourquoi k est près de 2 pour les budgets bien déterminés et plus élevé pour les budgets minces.
Ce calculateur utilise-t-il un niveau de confiance de 95 % ou de 95,45 %?

Il utilise un niveau de confiance bilatéral de 95,00 %, la valeur t de Student t_0.975 selon les degrés de liberté, qui converge vers 1,960 quand les degrés de liberté effectifs augmentent. Certains exemples du GUM utilisent plutôt un niveau de 95,45 %, pour lequel le facteur normal vaut exactement 2,000, donc les facteurs y sont un peu plus grands. Cet outil énonce clairement la convention à 95 % pour que vous puissiez la comparer à votre propre politique. Si votre système qualité fixe un autre niveau, traitez le k donné ici comme le chiffre bilatéral à 95 % et non comme un remplacement de votre règle établie.
Quel est le lien avec le calculateur de budget d'incertitude?

Le calculateur de budget d'incertitude combine vos composantes par la racine de la somme des carrés en une incertitude-type composée et l'élargit au facteur d'élargissement de votre choix, en laissant volontairement les degrés de liberté de côté. Ce calculateur-ci est l'étape manquante : apportez ici l'incertitude-type de chaque composante et ses degrés de liberté pour obtenir les degrés de liberté effectifs et un facteur d'élargissement lu sur le t de Student, plutôt que de supposer k = 2. Ensemble, les deux outils donnent une incertitude composée et une incertitude élargie avec un k défendable.

Ce calculateur applique la formule de Welch-Satterthwaite aux composantes que vous entrez et donne l'incertitude-type composée, les degrés de liberté effectifs, un facteur d'élargissement bilatéral à 95 % et l'incertitude élargie. Il ne choisit pas vos degrés de liberté, ne modélise pas les corrélations entre composantes et ne remplace ni JCGM 100:2008 ni ISO/IEC 17025. Traitez le résultat comme une estimation de travail et validez-le au regard de votre procédure d'incertitude documentée avant de vous en servir.

Calculateur de budget d'incertitude de mesure Calculateur d'incertitude pour thermocouples et RTD Calculateur de bande de garde et de règle de décision Exigences d'un certificat d'étalonnage : ce qu'il doit contenir Logiciel d'étalonnage ISO/IEC 17025 Comparer les logiciels d'étalonnage Tous les outils

Emportez la liste de vérification de préparation à l'audit

La liste de vérification à rebours que les auditeurs utilisent vraiment, puis quatre courts courriels pratiques. Pas de pourriel, désabonnement en un clic.

Gardez le calcul d'incertitude avec le dossier

Axiospec conserve chaque étalonnage, chaque budget d'incertitude et chaque certificat dans un seul registre à détection d'altération conçu pour ISO/IEC 17025, avec des budgets d'incertitude et des rapports d'incertitude d'essai par instrument.

Commencer

Envoyez-nous votre liste d'instruments et nous la chargeons pour vous, en général en quelques jours ouvrables. Gratuit sur tous les forfaits.

Ou comparez les forfaits, dont une option gratuite.