Calculadora Welch-Satterthwaite
Introduce cada contribución a la incertidumbre como una incertidumbre estándar con sus grados de libertad y obtén la incertidumbre estándar combinada, los grados de libertad efectivos, el factor de cobertura k de la t de Student y la incertidumbre expandida U. Usa el método de Welch-Satterthwaite de la GUM (JCGM 100:2008). Todo se calcula en tu navegador. Sin dejar el correo y sin registro.
Contribuciones a la incertidumbre
Introduce cada contribución como una incertidumbre estándar u (no un valor expandido) y sus grados de libertad. Para un límite de tipo B bien conocido, escribe inf en los grados de libertad.
| Contribución | Incertidumbre estándar u | Grados de libertad v (n−1, o inf) | Eliminar |
|---|
Las contribuciones de tipo A evaluadas a partir de n lecturas repetidas tienen v = n − 1. Las contribuciones de tipo B con un límite bien caracterizado se introducen normalmente con grados de libertad infinitos (inf), así que no tiran del valor efectivo hacia abajo.
Todas las contribuciones tienen que estar en las mismas unidades.
k converge a 1,960 según crecen los grados de libertad efectivos.
Resultado
Método: Welch-Satterthwaite, GUM (JCGM 100:2008) apartado G.4. u_c = √(Σ u_i²) para contribuciones independientes; v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i); k = t al 95% a dos colas para v_eff (convergiendo a 1,960); U = k · u_c. Los grados de libertad los asignas tú; las correlaciones entre contribuciones no se modelan.
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Controla tus instrumentos gratisLos grados de libertad efectivos, en términos sencillos
Por qué una k = 2 fija no siempre basta
La incertidumbre expandida es U = k por la incertidumbre estándar combinada. Con k = 2 ese intervalo cubre alrededor del 95% de los resultados, pero solo cuando la distribución combinada es cercana a la normal, algo que se cumple cuando se combinan varias contribuciones comparables y cada una está bien determinada. Cuando el presupuesto se apoya en un puñado de lecturas repetidas, la incertidumbre combinada es a su vez incierta, y el factor de cobertura honesto es algo mayor que 2. Los grados de libertad efectivos son la forma en que la GUM convierte esa idea en un número.
La fórmula de Welch-Satterthwaite
Cada contribución lleva sus propios grados de libertad v_i: un término de tipo A evaluado a partir de n lecturas tiene v = n − 1, y un término de tipo B bien conocido se trata normalmente como si tuviera grados de libertad infinitos. La incertidumbre estándar combinada es u_c = √(Σ u_i²), y los grados de libertad efectivos son v_eff = u_c⁴ / Σ(u_i⁴ / v_i). Como cada término está elevado a la cuarta potencia, la contribución que es a la vez grande y pobre en datos domina el denominador, y es la que mantiene bajo el valor efectivo. Una contribución con grados de libertad infinitos no aporta nada al denominador, así que los patrones y los escalones de resolución no te penalizan.
Leer el factor de cobertura en la t de Student
Una vez que tienes los grados de libertad efectivos, el factor de cobertura para una cobertura del 95% es el valor t de Student a dos colas, t0,975, para ese número de grados de libertad. Es de alrededor de 2,23 cerca de diez grados de libertad, baja a 2,09 cerca de veinte y a 2,04 cerca de treinta, y se asienta en el valor normal 1,960 cuando los grados de libertad crecen mucho. Esta herramienta lee k de una tabla t del 95% a dos colas con interpolación, que es la razón de que un presupuesto pobre devuelva un factor por encima de 2 y uno bien determinado devuelva un factor cercano a él.
Lo que esta herramienta te deja a ti
Dos cosas son tuyas a propósito. Los grados de libertad que hay detrás de cada contribución son un criterio: v = n − 1 para un término de tipo A está claro, pero el valor de un término de tipo B depende de lo bien que conozcas su propia incertidumbre (la GUM da un método en el apartado G.4.2), y una asignación equivocada mueve v_eff. Y esta calculadora combina las contribuciones como incertidumbres estándar independientes, así que no añade términos de covarianza para fuentes que se mueven juntas; confirma que tus contribuciones no están correlacionadas antes de fiarte de la cifra combinada. Informa un factor del 95% a dos colas y declara su método en lugar de elegir tu política. Referencias: JCGM 100:2008 (GUM), anexo G; ISO/IEC 17025:2017.
Preguntas frecuentes
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¿Cuál es la fórmula de Welch-Satterthwaite?
La fórmula de Welch-Satterthwaite estima los grados de libertad efectivos de una incertidumbre estándar combinada. Es v_eff = u_c^4 dividido entre la suma de u_i^4 / v_i, donde u_c es la incertidumbre estándar combinada, cada u_i es la incertidumbre estándar de una contribución y cada v_i son los grados de libertad de esa contribución. La idea es resumir en un solo número cuántos datos respaldan la incertidumbre combinada, para poder leer un factor de cobertura defendible en la distribución t de Student. Aparece en la GUM (JCGM 100:2008), apartado G.4.1.
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¿Qué son los grados de libertad efectivos y por qué importan?
Los grados de libertad efectivos describen lo bien determinada que está la incertidumbre estándar combinada. Una incertidumbre combinada construida sobre todo con unas pocas lecturas repetidas es menos segura que otra construida con muestras grandes o patrones bien caracterizados, y el valor de Welch-Satterthwaite recoge eso. Importa porque el factor de cobertura para un nivel de confianza dado depende de él: menos grados de libertad efectivos significa una k mayor para la misma cobertura del 95%. Cuando una o dos contribuciones de tipo A con pocos datos dominan el presupuesto, v_eff es pequeño y k sube por encima de 2.
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¿Cómo elijo los grados de libertad de cada contribución?
Una contribución de tipo A evaluada a partir de n lecturas repetidas tiene v = n - 1. Una contribución de tipo B cuyo límite se conoce bien (un escalón de resolución, un valor de certificado a una k declarada) se toma habitualmente como de grados de libertad infinitos, así que no tira del valor efectivo hacia abajo. La GUM, en el apartado G.4.2, da además una forma de asignar un valor finito a una contribución de tipo B según lo bien que conozcas su propia incertidumbre, aproximadamente v_i = 1 / (2 por la incertidumbre relativa de u_i al cuadrado). Asignar estos valores es un criterio de tu laboratorio; esta herramienta aplica los números que introduces.
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¿Por qué el factor de cobertura k no es siempre 2?
Un factor de cobertura de k = 2 da alrededor del 95% de cobertura solo cuando la distribución combinada es aproximadamente normal, lo que es razonable cuando se combinan muchas contribuciones comparables y los grados de libertad efectivos son muchos. Cuando los grados de libertad efectivos son pocos, el resultado combinado sigue una distribución t de Student con colas más pesadas, así que hace falta un factor mayor para mantener el 95% de cobertura. Según crece v_eff, el factor t de Student baja hacia el valor normal 1,960, que es la razón de que k sea cercana a 2 en presupuestos bien determinados y mayor en los pobres.
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¿Esta calculadora usa una confianza del 95% o del 95,45%?
Usa un nivel de confianza del 95,00% a dos colas, el valor t de Student t_0.975 según los grados de libertad, que converge a 1,960 según crecen los grados de libertad efectivos. Algunos ejemplos de la GUM usan en cambio un nivel del 95,45%, para el que el factor normal es exactamente 2,000, así que los factores salen algo mayores. Esta herramienta declara con claridad el convenio del 95% para que puedas compararlo con tu propia política. Si tu sistema de calidad fija otro nivel, trata la k que se informa aquí como la cifra del 95% a dos colas y no como un sustituto de tu regla declarada.
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¿Qué relación tiene esto con la calculadora de presupuesto de incertidumbre?
La calculadora de presupuesto de incertidumbre combina tus contribuciones por raíz de la suma de cuadrados en una incertidumbre estándar combinada y la expande con el factor de cobertura que elijas, y deja fuera los grados de libertad a propósito. Esta calculadora es ese paso que falta: trae aquí la incertidumbre estándar de cada contribución y sus grados de libertad y obtén los grados de libertad efectivos y un factor de cobertura leído de la t de Student, en lugar de dar por hecho k = 2. Usadas juntas dan una incertidumbre combinada y una incertidumbre expandida con una k defendible.
Esta calculadora aplica la fórmula de Welch-Satterthwaite a las contribuciones que introduces e informa la incertidumbre estándar combinada, los grados de libertad efectivos, un factor de cobertura del 95% a dos colas y la incertidumbre expandida. No elige tus grados de libertad, no modela correlaciones entre contribuciones y no sustituye a JCGM 100:2008 ni a ISO/IEC 17025. Trata el resultado como una estimación de trabajo y valídalo frente a tu procedimiento documentado de incertidumbre antes de usarlo.
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