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Études de biais et de linéarité d'un moyen de mesure : comment les mener et lire les résultats
Le biais d'un moyen de mesure est la différence entre la moyenne de relevés répétés sur une pièce de référence et la valeur de référence de cette pièce. La linéarité décrit comment ce biais varie sur l'étendue de travail du moyen de mesure : on mesure cinq pièces de référence ou plus, on ajuste une droite aux biais et on teste si sa pente diffère de zéro.
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Ce que signifient le biais et la linéarité
Le biais est un décalage systématique. Dans le VIM (JCGM 200:2012, 4.20), le biais instrumental est ce que l'on obtient en retranchant une valeur de référence de la moyenne de relevés répétés. Un moyen de mesure qui a un biais de +0,002 mm indique en moyenne 0,002 mm de trop en ce point. Faire la moyenne de plus de relevés ne le supprime pas.
La linéarité indique si ce biais reste le même sur l'étendue où le moyen de mesure est utilisé. Un moyen de mesure peut être presque juste en bas de l'étendue et indiquer de plus en plus haut vers le haut. Le e-Handbook of Statistical Methods du NIST et de SEMATECH donne à la linéarité un sens étroit dans le même esprit : des pas égaux de la grandeur mesurée devraient donner des pas égaux de l'indication, de sorte que tout biais reste constant.
Les deux relèvent de la justesse dans l'analyse des systèmes de mesure (MSA). Le Gage R&R regarde la dispersion des relevés entre répétitions et entre évaluateurs. Le biais et la linéarité regardent où se situent les relevés par rapport à une valeur connue. La stabilité, troisième étude de justesse, suit le biais sur une pièce de référence dans le temps.
Quand mener une étude de biais ou de linéarité
Le manuel de référence Measurement Systems Analysis de l'AIAG, quatrième édition, décrit les deux études. L'article 7.1.5.1.1 de l'IATF 16949 demande aux fournisseurs de l'automobile des études statistiques pour chaque type de système de mesure cité dans le plan de surveillance, avec des méthodes et des critères d'acceptation tirés des manuels de référence sur la MSA, sauf si le client en approuve d'autres.
En dehors de l'automobile, les mêmes études répondent à des questions pratiques.
- Un moyen de mesure neuf, ou affecté à une nouvelle tâche, avant que ses relevés servent à accepter des produits.
- Un moyen de mesure qui a été réparé ou ajusté.
- Un moyen de mesure utilisé sur une large étendue, quand les résultats d'étalonnage montrent que l'erreur augmente vers une extrémité.
- Des doutes sur les relevés dans l'environnement de travail. Le e-Handbook du NIST et de SEMATECH rappelle que l'étalonnage relie un moyen de mesure à une référence dans des conditions idéales, alors que la température, les opérateurs et l'usure peuvent ajouter un biais là où il sert réellement.
Comment mener une étude de biais
Une étude de biais utilise une pièce de référence et un évaluateur qui utilise habituellement le moyen de mesure.
- Choisissez une pièce de référence à une valeur où le moyen de mesure est utilisé, souvent vers le milieu de son étendue de travail.
- Établissez sa valeur de référence avec un équipement plus exact que le moyen étudié, traçable au SI, ou utilisez un étalon étalonné comme une cale étalon avec son certificat.
- Faites mesurer la pièce plusieurs fois par l'évaluateur, de la manière habituelle.
- Calculez le biais de chaque relevé, le biais moyen et l'écart-type des relevés.
- Regardez la dispersion avant le biais. Si la répétabilité est grande par rapport à la tolérance ou à la variation du procédé, cherchez d'abord la cause de la dispersion.
Le biais est-il significatif ? Le test t
Cas de données : n relevés individuels d'une pièce de référence, pris par un évaluateur et supposés indépendants et à peu près normaux. Le biais est le relevé moyen moins la valeur de référence. Son erreur type est s / √n, où s est l'écart-type des relevés.
La statistique de test est t = biais / (s / √n), avec n − 1 degrés de liberté. Comparez sa valeur absolue à la valeur critique bilatérale de la loi de Student, en général au seuil de signification de 0,05. Si |t| est plus grand, le biais est statistiquement différent de zéro. L'intervalle de confiance donne la même réponse : le biais est significatif quand zéro tombe en dehors de biais ± t × s / √n. C'est le test t à un échantillon décrit à la section 7.2.2 du e-Handbook du NIST et de SEMATECH.
Exemple. Un micromètre numérique mesure dix fois une cale étalon de 12,5 mm. Les relevés moins la longueur certifiée de la cale valent +2, +3, +1, +2, +3, +2, +2, +4, +1 et +2 µm. Le biais moyen est de +2,2 µm et s vaut 0,92 µm, donc l'erreur type est de 0,29 µm et t vaut 7,57. Avec 9 degrés de liberté, la valeur critique bilatérale à 0,05 est 2,262. Le biais est significatif : ce micromètre indique trop haut à 12,5 mm.
Statistiquement significatif ne veut pas dire trop grand. Avec assez de relevés, même un biais minime devient significatif. Jugez sa taille par rapport à la tolérance que sert le moyen de mesure. Pour une tolérance de pièce de ±0,02 mm, un biais de 2,2 µm représente 5,5 pour cent de l'intervalle de tolérance de 0,04 mm.
Comment mener une étude de linéarité
Une étude de linéarité répète le contrôle du biais à plusieurs valeurs de référence réparties sur l'étendue où le moyen de mesure est utilisé. Le e-Handbook du NIST et de SEMATECH demande au moins cinq étalons de référence couvrant l'étendue par pas à peu près égaux, chacun mesuré plus d'une fois. Il conseille de mesurer chaque étalon une fois puis de répéter tout le tour, plutôt que d'enchaîner toutes les répétitions sur un même étalon.
Le manuel de l'AIAG décrit le même plan avec des pièces de série dont les valeurs de référence viennent d'une mesure plus exacte, toutes mesurées par un évaluateur qui utilise habituellement le moyen de mesure. Des cales étalons, des bagues de réglage ou d'autres étalons étalonnés jouent le même rôle quand les pièces de série sont difficiles à mesurer avec précision.
Ajuster la droite : régression du biais sur la valeur de référence
Calculez le biais de chaque relevé individuel : le relevé moins la valeur de référence de sa pièce. Ajustez ensuite une droite par les moindres carrés, avec le biais sur l'axe vertical et la valeur de référence sur l'axe horizontal. Cas de données : les N relevés individuels, et non les moyennes par pièce. L'écart-type résiduel s de l'ajustement a N − 2 degrés de liberté.
La pente indique de combien le biais varie par unité de valeur de référence. L'ordonnée à l'origine est le biais ajusté pour une valeur de référence nulle. Le e-Handbook du NIST ajuste plutôt les relevés eux-mêmes en fonction des valeurs de référence et teste une pente égale à 1. C'est le même test, puisque le biais est le relevé moins la référence.
Testez chaque coefficient avec une statistique t, l'estimation divisée par son erreur type, contre la loi de Student à N − 2 degrés de liberté. Pour la pente, l'erreur type est s divisé par la racine carrée de Sxx, la somme des carrés des écarts des valeurs de référence à leur moyenne. Pour l'ordonnée à l'origine, elle vaut s × √(1/N + m²/Sxx), où m est la valeur de référence moyenne. Le e-Handbook utilise les mêmes tests, à un seuil de signification comme 0,05, pour décider si une courbe d'étalonnage doit être corrigée.
Le manuel de l'AIAG ajoute un contrôle graphique. Tracez la droite ajustée avec ses bandes de confiance, ainsi que la ligne de biais nul. L'AIAG juge la linéarité acceptable quand la ligne de biais nul reste à l'intérieur des bandes sur toute l'étendue et que ni la pente ni l'ordonnée à l'origine ne diffèrent significativement de zéro.
| Test de la pente | Test de l'ordonnée à l'origine | Ce que cela signifie |
|---|---|---|
| Non significatif | Non significatif | Aucun signe de biais ni d'erreur de linéarité sur l'étendue étudiée |
| Non significatif | Significatif | Un biais constant : le moyen de mesure indique trop haut ou trop bas d'environ la même valeur sur toute l'étendue |
| Significatif | Quel que soit le résultat | Le biais varie avec la dimension : une erreur de linéarité |
Exemple chiffré : un micromètre qui indique trop haut vers le haut de son étendue
Un micromètre numérique de 0 à 25 mm est contrôlé avec des cales étalons de 5, 10, 15, 20 et 25 mm, quatre relevés sur chacune, pris par tours. Le tableau donne chaque relevé moins la longueur de la cale en µm.
L'ajustement sur les 20 relevés donne une pente de 0,13 µm par mm, soit 0,00013 quand les relevés et les références sont tous en mm. L'ordonnée à l'origine vaut +0,15 µm et l'écart-type résiduel 0,62 µm avec 18 degrés de liberté. La statistique t de la pente vaut 6,64 contre une valeur critique bilatérale de 2,101, la pente est donc significative. La statistique t de l'ordonnée à l'origine vaut 0,46, elle n'est donc pas significative.
Le micromètre a une erreur de linéarité. Sur la droite ajustée, son biais passe d'environ +0,8 µm à 5 mm à +3,4 µm à 25 mm, soit 1,3 µm tous les 10 mm. Une erreur qui croît le long de l'étendue fait penser à de l'usure ou à un réglage décalé aux extrémités plutôt qu'à un simple décalage du zéro. Que cela compte ou non dépend des tolérances pour lesquelles le micromètre est utilisé.
| Référence (mm) | Relevés moins référence (µm) | Biais moyen (µm) |
|---|---|---|
| 5 | +1, 0, +1, +2 | +1,00 |
| 10 | +1, +2, +1, +1 | +1,25 |
| 15 | +2, +2, +3, +1 | +2,00 |
| 20 | +3, +2, +3, +3 | +2,75 |
| 25 | +3, +4, +3, +4 | +3,50 |
Que faire quand un moyen de mesure présente un biais ou une erreur de linéarité
Cherchez d'abord la cause. Pour une erreur de linéarité, les causes que cite le manuel MSA, et que reprend le e-Handbook du NIST et de SEMATECH, comprennent un moyen de mesure mal étalonné aux extrémités basse et haute de son étendue, une erreur sur la valeur de référence aux extrémités, un moyen de mesure usé et des problèmes de conception interne. Vérifiez aussi les pièces de référence, car une valeur de référence fausse ressemble exactement à un biais du moyen de mesure. En métrologie dimensionnelle, la température est aussi une source de biais fréquente.
Choisissez ensuite quoi faire.
- Réétalonnez ou ajustez le moyen de mesure, puis refaites l'étude.
- Réparez ou remplacez un moyen de mesure usé.
- Corrigez les relevés d'un biais connu et stable, et tenez compte de l'incertitude de la correction. Le e-Handbook décrit cette approche pour les écarts entre moyens de mesure.
- Quand la correction ne vaut pas l'effort, traitez le biais comme une composante de l'incertitude de mesure, comme le e-Handbook le permet aussi.
- Limitez le moyen de mesure à la partie de son étendue où le biais est acceptable, et indiquez-le sur une étiquette.
- Comment établir un bilan d'incertitude de mesure
- Que faire quand un étalonnage révèle un instrument hors tolérance
Comment mener une étude de linéarité, étape par étape
- Choisissez au moins cinq pièces de référence ou étalons qui couvrent l'étendue où le moyen de mesure est utilisé, par pas à peu près égaux.
- Établissez chaque valeur de référence avec un équipement plus exact et traçable, ou utilisez des étalons certifiés.
- Faites mesurer chaque pièce une fois par tour par un évaluateur qui utilise habituellement le moyen de mesure, et répétez les tours.
- Calculez le biais de chaque relevé : le relevé moins sa valeur de référence.
- Ajustez par les moindres carrés une droite à tous les biais individuels en fonction des valeurs de référence.
- Testez la pente et l'ordonnée à l'origine avec des tests t à N − 2 degrés de liberté, et tracez la droite avec ses bandes de confiance et la ligne de biais nul.
- Si la pente ou l'ordonnée à l'origine est significative, cherchez la cause, agissez et refaites l'étude.
- Consignez les données, les résultats, la décision et la date avec les autres enregistrements du moyen de mesure.
La place d'Axiospec
Axiospec est un logiciel de gestion des étalonnages et mène les études MSA sur la fiche de l'instrument. Sur la page d'un instrument, un gestionnaire ou un administrateur peut lancer une étude de biais, de linéarité, de Gage R&R ou de concordance par attributs, quelle que soit l'offre. L'étude est enregistrée avec l'instrument, à côté de ses étalonnages, de ses certificats et de ses dates d'échéance.
L'étude de biais demande une valeur de référence et au moins cinq relevés. Elle donne le biais, la statistique t comparée à la valeur critique bilatérale à 0,05 et, si vous saisissez une tolérance, le biais en pourcentage de celle-ci. L'étude de linéarité accepte jusqu'à 10 valeurs de référence avec 2 à 5 relevés chacune. Elle ajuste les biais individuels en fonction des valeurs de référence et donne la pente, l'ordonnée à l'origine, r² et un test t de la pente. Le test de l'ordonnée à l'origine et les bandes de confiance de l'AIAG ne sont pas dans l'application. Chaque verdict est indicatif, et la décision sur le moyen de mesure vous revient.
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Questions fréquentes
- Qu'est-ce que le biais d'un moyen de mesure ?
- Le biais est la différence entre la moyenne de relevés répétés sur une pièce de référence et la valeur de référence de cette pièce. Un biais positif signifie que le moyen de mesure indique trop haut en ce point. C'est une erreur systématique, donc prendre plus de relevés ne la supprime pas.
- Qu'est-ce que la linéarité d'un moyen de mesure ?
- La linéarité décrit comment le biais d'un moyen de mesure varie sur son étendue de travail. On la détermine en mesurant plusieurs pièces de référence réparties sur l'étendue et en ajustant une droite aux biais en fonction des valeurs de référence. Une pente significativement différente de zéro signifie que le biais dépend de la dimension mesurée.
- Combien de pièces de référence faut-il pour une étude de linéarité ?
- Le e-Handbook du NIST et de SEMATECH demande au moins cinq étalons de référence couvrant l'étendue par pas à peu près égaux, chacun mesuré plus d'une fois. Le manuel MSA de l'AIAG utilise aussi plusieurs pièces réparties sur l'étendue de travail, mesurées plusieurs fois par un évaluateur.
- Comment savoir si le biais d'un moyen de mesure est acceptable ?
- Pour n relevés répétés sur une pièce de référence, testez d'abord si le biais diffère de zéro : t est le biais divisé par s / √n, comparé à la loi de Student à n − 1 degrés de liberté. Jugez ensuite la taille du biais par rapport à la tolérance, car une grande étude peut trouver un biais significatif mais trop petit pour compter.
- Quelle différence entre biais, linéarité et Gage R&R ?
- Le biais et la linéarité concernent la justesse : où se situent les relevés par rapport à une valeur de référence connue, en un point ou sur toute l'étendue. Le Gage R&R concerne la fidélité : de combien les relevés se dispersent entre répétitions et entre évaluateurs. Un moyen de mesure peut réussir l'un et échouer à l'autre, c'est pourquoi la MSA regarde les deux.
- Un moyen de mesure étalonné a-t-il encore besoin d'une étude de biais ?
- Souvent, oui. L'étalonnage compare le moyen de mesure à une référence dans des conditions maîtrisées, alors qu'une étude de biais le mesure tel qu'il est utilisé, par son évaluateur habituel et à sa place habituelle. Le e-Handbook du NIST et de SEMATECH note que la température, les opérateurs et l'usure peuvent ajouter dans l'environnement de travail un biais que l'étalonnage ne montre pas.
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