Analyse du cumul des tolérances : pire cas et RSS

Fermez d'abord la boucle

Avant tout calcul, définissez la boucle. Elle part d'une face du jeu qui vous intéresse, traverse chaque pièce en contact sur le chemin et revient à l'autre face. Chaque contributeur situé entre ces deux faces apparaît exactement une fois. Rien hors de la boucle n'a le droit de faire bouger le jeu.

Donnez un sens à chaque contributeur. Utilisez plus quand l'agrandissement de cette cote ouvre le jeu, et moins quand il le ferme. Utilisez une fraction quand une partie seulement de la cote entre dans la boucle, par exemple 0,5 pour un rayon pris sur un diamètre.

Une boucle incomplète est l'erreur qu'aucun calcul soigné ne peut rattraper. Si la dilatation thermique, le serrage, l'épaisseur de placage ou l'écrasement d'un joint fait bouger votre jeu, ce sont des contributeurs et ils doivent figurer dans la liste.

Recentrez chaque contributeur, y compris les cas délicats

Les deux méthodes exigent que chaque contributeur soit exprimé par une moyenne et une demi-tolérance égale de part et d'autre. La moyenne est le milieu des limites inscrites au dessin. La demi-tolérance est la moitié de l'étendue entre elles.

Pour une cote symétrique, cela ne change rien. Pour une cote à tolérance inégale ou unilatérale, cela change tout. Une cote de 50,000 +0,200 / -0,000 a une moyenne de 50,100 et une demi-tolérance de 0,100. La traiter comme 50,000 plus ou moins 0,200 fausse les deux nombres et déplace tout le cumul dans un sens.

C'est l'étape que les calculs à la main sautent le plus souvent. Et comme elle déplace le résultat au lieu de l'élargir, elle produit une réponse qui a l'air raisonnable, mais qui ne l'est pas.

Le pire cas, la méthode arithmétique

Le jeu moyen est la somme signée des moyennes. La demi-largeur en pire cas est la somme des sensibilités en valeur absolue multipliées par les demi-tolérances. Le jeu va de la moyenne moins cette demi-largeur à la moyenne plus cette demi-largeur.

Le pire cas est une vraie borne. Il suppose seulement que chaque pièce reste dans ses limites déclarées et que votre boucle est complète et correctement signée. Il ne suppose rien sur les distributions ni sur l'indépendance, et c'est pourquoi une corrélation entre les pièces ne peut pas le mettre en défaut. Une borne reste une borne, que les contributeurs bougent ensemble ou non.

Ce que le pire cas ne vous dit pas, c'est la probabilité d'atteindre l'extrême. Dans un cumul de cinq pièces centrées et indépendantes, la probabilité d'atteindre le pire cas est infime. La méthode ne prétend jamais le contraire, et il ne faut donc jamais la citer avec un pourcentage.

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La racine de la somme des carrés, la méthode statistique

La demi-largeur RSS est la racine carrée de la somme des demi-tolérances pondérées par leur sensibilité et élevées au carré. Les signes disparaissent du terme de tolérance à cause de l'élévation au carré, mais ils gouvernent toujours le jeu moyen.

La méthode fonctionne en deux étapes, et une seule d'entre elles est une hypothèse. La première étape est exacte : pour des variables aléatoires indépendantes, la variance d'une somme pondérée est la somme pondérée des variances. La deuxième étape est l'hypothèse : si chaque tolérance est le même multiple de son propre écart-type, ce multiplicateur commun s'annule et vous pouvez combiner directement les tolérances par la racine de la somme des carrés. Si les niveaux sigma diffèrent d'un contributeur à l'autre, la formule simple est fausse.

Ne dites à personne que le calcul échoue sans la normalité. Ce n'est pas le cas. La normalité est nécessaire pour l'affirmation en pourcentage, pas pour l'algèbre.

Ce que suppose le RSS, et comment chaque hypothèse tombe

Aucune de ces hypothèses n'est un détail technique. Elles font la différence entre un nombre que vous pouvez inscrire sur un dessin et un nombre que la première série de production va contredire.

• L'indépendance. Aucune cause commune entre les contributeurs. Elle tombe pour deux entités usinées dans un même montage, des pièces sorties d'une même empreinte de moule, des pièces tirées d'une même barre de matière, un même gabarit ou tout ce qui dépend d'une même température.
• Des procédés centrés. La moyenne de chaque procédé se trouve au milieu de sa tolérance. L'usure des outils, la mise en température de la machine et un fournisseur qui tire vers la condition de matière sécuritaire font tous tomber cette hypothèse, et un décalage de moyenne connu s'additionne arithmétiquement plutôt qu'en quadrature.
• Un niveau sigma commun. Chaque tolérance est le même multiple de son propre écart-type, et vous indiquez lequel. Plus ou moins 0,1 à trois sigma et plus ou moins 0,1 à six sigma sont deux affirmations différentes sur le même nombre.
• Des contributeurs à peu près normaux, ou assez nombreux pour que la somme le soit. Les pièces triées ou inspectées à 100 % ont une distribution tronquée. La production de moules à empreintes multiples et de machines multibroches est multimodale. Les pièces fabriquées au calibre « entre » s'accumulent contre une limite.
• Aucun terme dominant. Si le plus grand terme au carré dépasse la moitié de la somme des carrés, l'assemblage hérite de cette seule pièce et l'argument de la loi normale est faible.

À quel point le RSS se trompe quand les hypothèses ne tiennent pas

Un cas résolu rend la chose concrète. Prenez deux contributeurs de demi-tolérance égale dont les valeurs sont réparties uniformément entre leurs limites, ce que produit à peu près un procédé trié ou peu maîtrisé. Leur somme est triangulaire plutôt que normale.

Le RSS classique place la demi-largeur à trois sigma à 1,414 fois la tolérance. La vraie demi-largeur centrale à 99,73 % de ce triangle vaut 1,896 fois celle-ci. Et la fraction des assemblages qui tombe hors de la bande RSS est de 8,58 %, et non les 0,27 % que suppose la loi normale.

C'est un facteur d'environ trente sur le taux de rejet, dans le sens qui coûte de l'argent. Le calcul était juste du début à la fin. C'est l'hypothèse de distribution qui ne l'était pas.

Faire un cumul de tolérances

1. Définissez la boucle. Partez d'une face du jeu, passez par chaque pièce en contact et terminez à l'autre face. Inscrivez chaque contributeur une seule fois.
2. Donnez un sens à chaque contributeur : plus si son agrandissement ouvre le jeu, moins s'il le ferme, et une fraction quand une partie seulement de la cote entre dans la boucle.
3. Recentrez chaque contributeur sur une moyenne et une demi-tolérance égale de part et d'autre, à partir des limites inscrites au dessin. Faites-le même quand la tolérance semble symétrique, pour que les tolérances inégales ne passent pas entre les mailles.
4. Calculez le jeu moyen comme la somme signée des moyennes.
5. Calculez la demi-largeur en pire cas comme la somme des sensibilités en valeur absolue multipliées par les demi-tolérances. C'est votre borne.
6. Vérifiez vos signes. Recalculez le jeu maximal et le jeu minimal directement à partir des limites inscrites au dessin, sans recentrage, et confirmez que les deux chemins concordent. S'ils ne concordent pas, un signe ou une conversion est erroné.
7. Décidez si vous avez droit à un résultat statistique. Vérifiez le nombre de contributeurs, si l'un d'eux domine la variance et si vous avez une preuve de capabilité pour chaque pièce.
8. Si c'est le cas, calculez la demi-largeur RSS et indiquez le niveau sigma qu'elle suppose. Sinon, arrêtez-vous au pire cas et dites-le.

• Faire ce calcul dans le calculateur

Choisir entre les deux

Utilisez le pire cas par défaut, et toujours quand un seul assemblage non conforme est inacceptable. Cela couvre les ajustements critiques pour la sécurité, l'étanchéité, les prototypes, les fabrications uniques, les faibles volumes, les pièces de rechange qui doivent être interchangeables et tout ce que vous ne pouvez pas retoucher ni apparier sélectivement. Utilisez-le chaque fois que vous n'avez aucune donnée de procédé, et chaque fois que la boucle compte moins d'environ quatre contributeurs.

Utilisez le RSS en production de volume, quand un taux de rejet faible, chiffré et détectable est acceptable, et quand vous avez une preuve de capabilité pour chaque contributeur ou l'engagement d'un fournisseur envers une capabilité déclarée. Il rapporte quand plusieurs contributeurs sont de taille semblable. Il ne rapporte presque rien quand un seul terme domine.

N'utilisez jamais le RSS en silence. Si la conception en dépend, le dessin doit porter l'exigence de tolérancement statistique, parce qu'un fournisseur qui livre toutes ses pièces à une même limite reste entièrement conforme, et votre chiffre RSS n'a jamais été vrai.

Au sujet des normes, clairement

Aucune norme ne donne une procédure générale de cumul des tolérances. Il vaut la peine de le savoir, parce que beaucoup de documents laissent entendre le contraire.

ISO 286-1 calcule les jeux d'ajustement arithmétiquement à partir des limites : le jeu maximal est la limite supérieure de l'alésage moins la limite inférieure de l'arbre. C'est un cumul en pire cas sur une boucle à deux pièces, et c'est le seul élément normalisé de ce calcul. Ne l'étirez pas au-delà de deux pièces.

ASME Y14.5 définit le langage de cotation et de tolérancement et le sens des limites. Elle ne donne aucune formule de cumul. Les méthodes présentées ici viennent de la pratique en ingénierie et des manuels, notamment Mechanical Tolerance Stackup and Analysis de Fischer et Dimensioning and Tolerancing Handbook de Drake.

Si quelqu'un cite une norme pour le cumul RSS, demandez de quel article il s'agit. La réponse honnête, c'est que la pratique relève de l'usage et non d'une exigence normative.

• Choisir un ajustement : serré, incertain ou avec jeu

Un cumul de tolérances n'est pas un budget d'incertitude

Les deux se confondent facilement, parce que tous deux combinent des contributeurs par la racine de la somme des carrés, et que les ingénieurs qualité rencontrent les deux.

Un cumul de tolérances combine la variation permise des pièces pour prédire comment un assemblage variera. Un budget d'incertitude de mesure combine des sources de doute sur une mesure pour dire à quel point vous connaissez une valeur, puis élargit le résultat par un facteur d'élargissement jusqu'à un niveau de confiance déclaré.

Une tolérance est une permission accordée à un procédé. Une incertitude est un énoncé sur la connaissance. Ils répondent à des questions différentes, et un nombre tiré de l'un ne se transporte pas dans l'autre sans que vous disiez duquel vous parlez.

• Calculateur de budget d'incertitude de mesure
• Bande de garde et règles de décision

La place d'Axiospec

Axiospec ne fait pas de cumuls de tolérances. C'est un logiciel de gestion de l'étalonnage, et le calculateur de cumul des tolérances de ce site est un outil gratuit et autonome, sans compte derrière.

Le lien, c'est l'instrument qui mesure. Un cumul vous dit de combien votre assemblage peut varier. Il ne dit rien sur la question de savoir si l'instrument qui le vérifie lit toujours juste. Axiospec s'occupe de ce côté : le statut d'étalonnage de chaque instrument, les lectures avant et après ajustage, et des budgets d'incertitude par instrument qui alimentent le TUR.

Si votre cumul indique qu'une entité a 0,05 mm de marge et que l'instrument qui la mesure porte une incertitude de 0,02 mm, le cumul n'était que la moitié de l'analyse.