Toleranzkettenrechnung: Worst Case und RSS

Zuerst die Maßkette schließen

Legen Sie vor jeder Rechnung die Maßkette fest. Sie beginnt an einer Fläche des Spalts, um den es Ihnen geht, läuft durch jedes Teil, das auf dem Weg berührt, und kehrt zur anderen Fläche zurück. Jeder Beitrag zwischen diesen beiden Flächen kommt genau einmal vor. Nichts außerhalb der Maßkette darf den Spalt verändern.

Geben Sie jedem Beitrag eine Richtung. Verwenden Sie Plus, wenn ein größeres Maß den Spalt öffnet, und Minus, wenn es ihn schließt. Verwenden Sie einen Faktor, wenn nur ein Teil eines Maßes in die Kette eingeht, zum Beispiel 0,5 für einen Radius aus einem Durchmesser.

Eine unvollständige Maßkette ist der Fehler, den auch die sorgfältigste Rechnung nicht wettmacht. Wenn Wärmedehnung, die Verspannung beim Klemmen, die Dicke einer galvanischen Beschichtung oder die Verpressung einer Dichtung Ihren Spalt verändern, sind das Beiträge, und sie gehören in die Liste.

Jeden Beitrag auf das Mittenmaß umrechnen, auch die unbequemen

Beide Methoden brauchen jeden Beitrag als Mittenmaß mit gleich großer halber Toleranz. Das Mittenmaß ist die Mitte zwischen den eingetragenen Grenzmaßen. Die halbe Toleranz ist die Hälfte der Spanne zwischen ihnen.

Bei einem symmetrischen Maß ändert das nichts. Bei einem ungleichen oder einseitigen ändert es alles. Ein Maß von 50,000 +0,200 / -0,000 hat ein Mittenmaß von 50,100 und eine halbe Toleranz von 0,100. Wer es als 50,000 plus/minus 0,200 behandelt, hat beide Zahlen falsch und verschiebt die ganze Kette in eine Richtung.

Diesen Schritt lassen Handrechnungen am häufigsten aus. Und weil er das Ergebnis verschiebt, statt es zu verbreitern, entsteht eine Antwort, die vernünftig aussieht und es nicht ist.

Worst Case, die arithmetische Methode

Der mittlere Spalt ist die vorzeichenbehaftete Summe der Mittenmaße. Die Worst-Case-Halbbreite ist die Summe der Beträge der Empfindlichkeiten mal den halben Toleranzen. Der Spalt reicht vom Mittelwert minus dieser Halbbreite bis zum Mittelwert plus dieser Halbbreite.

Worst Case ist eine echte Grenze. Die Methode setzt nur voraus, dass jedes Teil innerhalb seiner angegebenen Grenzmaße bleibt und dass Ihre Maßkette vollständig und richtig vorzeichenbehaftet ist. Sie trifft keine Annahme über Verteilungen und keine über Unabhängigkeit. Deshalb kann eine Korrelation zwischen Teilen sie nicht aushebeln. Eine Grenze bleibt eine Grenze, ob sich die Beiträge gemeinsam bewegen oder nicht.

Worst Case sagt Ihnen nicht, wie wahrscheinlich der Extremfall ist. Bei einer Kette aus fünf mittig liegenden, unabhängigen Teilen ist die Chance, den Worst Case zu erreichen, verschwindend klein. Die Methode behauptet auch nie etwas anderes, deshalb sollte sie nie mit einem Prozentsatz angegeben werden.

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Quadratische Summation (RSS), die statistische Methode

Die RSS-Halbbreite ist die Wurzel aus der Summe der quadrierten, mit der Empfindlichkeit gewichteten halben Toleranzen. Durch das Quadrieren fallen die Vorzeichen aus dem Toleranzterm heraus. Für den mittleren Spalt gelten sie aber weiterhin.

Die Methode arbeitet in zwei Schritten, und nur einer davon ist eine Annahme. Schritt eins ist exakt: Für unabhängige Zufallsgrößen ist die Varianz einer gewichteten Summe die gewichtete Summe der Varianzen. Schritt zwei ist die Annahme: Wenn jede Toleranz dasselbe Vielfache ihrer eigenen Standardabweichung ist, kürzt sich dieser gemeinsame Faktor heraus, und Sie dürfen die Toleranzen direkt quadratisch summieren. Unterscheiden sich die Sigma-Niveaus zwischen den Beiträgen, ist die einfache Formel falsch.

Behaupten Sie nicht, die Rechnung versage ohne Normalverteilung. Das tut sie nicht. Die Normalverteilung braucht es für die Prozentaussage, nicht für die Algebra.

Was RSS voraussetzt, und wie jede Voraussetzung bricht

Nichts davon ist eine Formalie. Hier liegt der Unterschied zwischen einer Zahl, die Sie auf eine Zeichnung schreiben können, und einer Zahl, die schon die erste Serienfertigung widerlegt.

• Unabhängigkeit. Zwischen den Beiträgen gibt es keine gemeinsame Ursache. Das trifft nicht zu bei zwei Merkmalen aus einer Aufspannung, bei Teilen aus einem Formnest, aus einer Stange Rohmaterial oder aus einer Vorrichtung und bei allem, was von einer gemeinsamen Temperatur abhängt.
• Mittig laufende Prozesse. Der Mittelwert jedes Prozesses liegt in der Mitte seiner Toleranz. Werkzeugverschleiß, das Warmlaufen der Maschine und ein Lieferant, der zur sicheren Materialgrenze hin fertigt, heben das auf. Eine bekannte Mittenverschiebung addiert sich arithmetisch, nicht quadratisch.
• Ein gemeinsames Sigma-Niveau. Jede Toleranz ist dasselbe Vielfache ihrer eigenen Standardabweichung, und Sie geben an, welches. Plus/minus 0,1 bei drei Sigma und plus/minus 0,1 bei sechs Sigma sind unterschiedliche Aussagen über dieselbe Zahl.
• Näherungsweise normalverteilte Beiträge, oder so viele davon, dass die Summe es ist. Sortierte oder vollständig geprüfte Teile sind abgeschnitten verteilt. Die Ausbringung aus Mehrfachformen und Mehrspindlern ist mehrgipflig. Teile, die nur gegen eine Gutlehre gefertigt werden, sammeln sich an einer Grenze.
• Kein einzelner dominierender Term. Trägt der größte quadrierte Term mehr als die Hälfte der Quadratsumme, erbt die Baugruppe das Verhalten dieses einen Teils, und das Argument mit der Normalverteilung ist schwach.

Wie weit RSS danebenliegt, wenn die Voraussetzungen fehlen

Ein Rechenbeispiel macht das greifbar. Nehmen Sie zwei Beiträge mit gleicher halber Toleranz, deren Werte gleichverteilt über ihre Grenzmaße streuen. Ungefähr das liefert ein sortierter oder locker geführter Prozess. Ihre Summe ist dreieckverteilt statt normalverteilt.

Klassisches RSS setzt die Halbbreite bei drei Sigma auf das 1,414-Fache der Toleranz an. Die wahre zentrale Halbbreite dieses Dreiecks für 99,73 Prozent liegt beim 1,896-Fachen. Und der Anteil der Baugruppen außerhalb des RSS-Bands beträgt 8,58 Prozent, nicht die 0,27 Prozent, die die Normalverteilungsannahme nahelegt.

Das ist ungefähr ein Faktor dreißig beim Ausfallanteil, und zwar in die Richtung, die Geld kostet. Die Rechnung war durchgehend richtig. Die Verteilungsannahme war es nicht.

Eine Toleranzkette rechnen

1. Legen Sie die Maßkette fest. Beginnen Sie an einer Fläche des Spalts, gehen Sie durch jedes berührende Teil und enden Sie an der anderen Fläche. Führen Sie jeden Beitrag einmal auf.
2. Geben Sie jedem Beitrag eine Richtung: Plus, wenn ein größeres Maß den Spalt öffnet, Minus, wenn es ihn schließt, und einen Faktor, wenn nur ein Teil des Maßes in die Kette eingeht.
3. Rechnen Sie jeden Beitrag aus seinen eingetragenen Grenzmaßen auf ein Mittenmaß mit gleich großer halber Toleranz um. Tun Sie das auch dann, wenn die Toleranz symmetrisch aussieht, damit Ihnen die ungleichen nicht durchrutschen.
4. Berechnen Sie den mittleren Spalt als vorzeichenbehaftete Summe der Mittenmaße.
5. Berechnen Sie die Worst-Case-Halbbreite als Summe der Beträge der Empfindlichkeiten mal den halben Toleranzen. Das ist Ihre Grenze.
6. Prüfen Sie Ihre Vorzeichen. Rechnen Sie den größten und den kleinsten Spalt direkt aus den eingetragenen Grenzmaßen nach, ohne Umrechnung auf das Mittenmaß, und prüfen Sie, ob beide Wege übereinstimmen. Tun sie es nicht, ist ein Vorzeichen oder eine Umrechnung falsch.
7. Entscheiden Sie, ob Ihnen ein statistisches Ergebnis zusteht. Prüfen Sie die Zahl der Beiträge, ob einer die Varianz dominiert und ob Sie für jedes Teil einen Fähigkeitsnachweis haben.
8. Wenn ja, berechnen Sie die RSS-Halbbreite und geben Sie das Sigma-Niveau an, das sie voraussetzt. Wenn nein, bleiben Sie bei Worst Case und sagen Sie das auch.

• Im Rechner durchrechnen

Die Wahl zwischen beiden

Verwenden Sie standardmäßig Worst Case, und immer dann, wenn eine einzelne nicht konforme Baugruppe nicht hinnehmbar ist. Das gilt für sicherheitskritische Passungen, Dichtungen, Prototypen, Einzelbauten, kleine Stückzahlen und Ersatzteile, die austauschbar sein müssen. Es gilt auch für alles, was Sie weder nacharbeiten noch selektiv paaren können. Verwenden Sie Worst Case außerdem immer dann, wenn Sie keine Prozessdaten haben oder die Maßkette weniger als etwa vier Beiträge hat.

Verwenden Sie RSS in der Serienfertigung, wenn ein kleiner, bezifferter und erkennbarer Ausfallanteil hinnehmbar ist und Sie für jeden Beitrag einen Fähigkeitsnachweis oder eine Zusage des Lieferanten zu einer angegebenen Prozessfähigkeit haben. Es lohnt sich, wenn mehrere Beiträge ähnlich groß sind. Es bringt fast nichts, wenn ein Term dominiert.

Verwenden Sie RSS nie stillschweigend. Hängt die Konstruktion davon ab, muss die Zeichnung die Anforderung der statistischen Tolerierung tragen. Denn ein Lieferant, der jedes Teil an einer Grenze liefert, ist voll konform, und Ihre RSS-Zahl hat nie gestimmt.

Zu den Normen, klar gesagt

Es gibt keine Norm, die ein allgemeines Vorgehen für Toleranzketten angibt. Das sollten Sie wissen, denn viele Unterlagen legen etwas anderes nahe.

DIN EN ISO 286-1 berechnet Passungsspiele arithmetisch aus den Grenzmaßen. Das Höchstspiel ist dabei das obere Grenzmaß der Bohrung minus das untere Grenzmaß der Welle. Das ist eine Worst-Case-Kette über eine Maßkette aus zwei Teilen, und es ist das einzige genormte Stück dieser Rechnung. Dehnen Sie es nicht über zwei Teile hinaus aus.

ASME Y14.5 legt die Sprache der Bemaßung und Tolerierung fest und was Grenzmaße bedeuten. Formeln für Toleranzketten gibt die Norm nicht. Die Methoden hier stammen aus der Ingenieurpraxis und aus Fachbüchern, vor allem aus Fischers Mechanical Tolerance Stackup and Analysis und Drakes Dimensioning and Tolerancing Handbook.

Wenn jemand für die RSS-Toleranzkette eine Norm zitiert, fragen Sie nach dem Abschnitt. Die ehrliche Antwort lautet, dass die Praxis üblich ist, aber nirgends festgelegt.

• Die richtige Passung wählen: Presspassung, Übergangspassung und Spielpassung

Eine Toleranzkette ist kein Unsicherheitsbudget

Die beiden werden leicht verwechselt, weil beide ihre Beiträge quadratisch summieren und Qualitätsingenieure mit beiden zu tun haben.

Eine Toleranzkette verknüpft die zulässige Streuung von Teilen, um vorherzusagen, wie stark eine Baugruppe schwankt. Ein Messunsicherheitsbudget verknüpft Zweifelsquellen einer Messung, um anzugeben, wie gut Sie einen Wert kennen, und erweitert das Ergebnis dann mit einem Erweiterungsfaktor auf ein angegebenes Vertrauensniveau.

Eine Toleranz ist eine Erlaubnis an einen Prozess. Eine Unsicherheit ist eine Aussage über Wissen. Beide beantworten unterschiedliche Fragen, und eine Zahl aus dem einen lässt sich nicht ins andere übertragen, ohne zu sagen, welche Sie meinen.

• Rechner für das Budget der Messunsicherheit
• Sicherheitsband und Entscheidungsregeln

Wo Axiospec ins Spiel kommt

Axiospec rechnet keine Toleranzketten. Es ist eine Software für das Kalibriermanagement, und der Toleranzkettenrechner auf dieser Website ist ein kostenloses, eigenständiges Werkzeug ohne Konto dahinter.

Die Verbindung ist das Messmittel, mit dem gemessen wird. Eine Toleranzkette sagt Ihnen, wie stark Ihre Baugruppe schwanken kann. Sie sagt nichts darüber, ob das Messmittel, mit dem Sie sie prüfen, noch richtig anzeigt. Diese Seite deckt Axiospec ab: den Kalibrierstatus jedes Messmittels, die Messwerte vor und nach der Justierung und Unsicherheitsbudgets je Messmittel, aus denen sich ein Prüfunsicherheitsverhältnis ergibt.

Wenn Ihre Toleranzkette sagt, dass ein Merkmal 0,05 mm Spielraum hat, und das Messmittel, das es misst, eine Messunsicherheit von 0,02 mm hat, war die Toleranzkette nur die halbe Analyse.