Analyse de chaîne de cotes : pire cas et RSS

Fermez d'abord la boucle

Avant tout calcul, définissez la boucle. Elle part d'une face du jeu qui vous intéresse, passe par chaque pièce en contact sur le chemin et revient à l'autre face. Chaque contributeur situé entre ces deux faces apparaît exactement une fois. Rien en dehors de la boucle n'a le droit de faire varier le jeu.

Donnez un sens à chaque contributeur. Utilisez plus quand l'augmentation de cette cote ouvre le jeu et moins quand elle le ferme. Utilisez une fraction quand une partie seulement de la cote entre dans la boucle, par exemple 0,5 pour un rayon pris sur un diamètre.

Une boucle incomplète est l'erreur qu'aucun calcul soigné ne rattrape. Si la dilatation thermique, le serrage, l'épaisseur de revêtement ou l'écrasement d'un joint font varier votre jeu, ce sont des contributeurs et ils doivent figurer dans la liste.

Recentrez chaque contributeur, y compris les plus délicats

Les deux méthodes exigent que chaque contributeur soit exprimé par une moyenne et une demi-tolérance symétrique. La moyenne est le milieu des limites inscrites. La demi-tolérance est la moitié de l'étendue entre elles.

Pour une cote symétrique, cela ne change rien. Pour une cote dissymétrique ou unilatérale, cela change tout. Une cote de 50,000 +0,200 / -0,000 a une moyenne de 50,100 et une demi-tolérance de 0,100. La traiter comme 50,000 plus ou moins 0,200 fausse les deux nombres et décale toute la chaîne dans un seul sens.

C'est l'étape que les calculs à la main sautent le plus souvent. Comme elle décale le résultat au lieu de l'élargir, elle produit une réponse qui paraît raisonnable et ne l'est pas.

Le pire cas, la méthode arithmétique

Le jeu moyen est la somme signée des moyennes. La demi-étendue au pire cas est la somme des sensibilités en valeur absolue multipliées par les demi-tolérances. Le jeu va de la moyenne moins cette demi-étendue à la moyenne plus cette demi-étendue.

Le pire cas est une vraie borne. Il suppose seulement que chaque pièce reste dans ses limites déclarées et que votre boucle est complète et correctement signée. Il ne fait aucune hypothèse sur les distributions ni sur l'indépendance, et c'est pourquoi une corrélation entre pièces ne peut pas le mettre en défaut. Une borne reste une borne, que les contributeurs varient ensemble ou non.

Ce que le pire cas ne vous dit pas, c'est la probabilité de l'extrême. Dans une chaîne de cinq pièces centrées et indépendantes, la chance d'atteindre le pire cas est infime. La méthode ne prétend jamais le contraire, et elle ne doit donc jamais être annoncée avec un pourcentage.

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La racine de la somme des carrés, la méthode statistique

La demi-étendue RSS est la racine carrée de la somme des demi-tolérances au carré, pondérées par les sensibilités. Les signes disparaissent du terme de tolérance à cause de l'élévation au carré, mais ils gouvernent toujours le jeu moyen.

La méthode tient en deux étapes, et une seule est une hypothèse. La première est exacte : pour des variables aléatoires indépendantes, la variance d'une somme pondérée est la somme pondérée des variances. La seconde est l'hypothèse. Si chaque tolérance est le même multiple de son propre écart type, ce multiplicateur commun se simplifie et vous pouvez combiner directement les tolérances en racine de la somme des carrés. Si les niveaux sigma diffèrent d'un contributeur à l'autre, la formule simple est fausse.

Ne dites à personne que le calcul échoue sans normalité. C'est faux. La normalité est nécessaire pour l'affirmation en pourcentage, pas pour l'algèbre.

Ce que suppose le RSS, et comment chaque hypothèse tombe

Aucune de ces conditions n'est un détail technique. Elles font la différence entre un nombre que vous pouvez inscrire sur un plan et un nombre que la première série de production contredira.

• L'indépendance. Aucune cause commune entre contributeurs. Elle tombe pour deux entités usinées dans une même prise de pièce, pour des pièces issues d'une même empreinte de moule, d'une même barre de matière ou d'un même montage, et pour tout ce qui dépend d'une température commune.
• Des procédés centrés. La moyenne de chaque procédé se situe au milieu de sa tolérance. L'usure d'outil, la mise en température de la machine et un fournisseur qui se décale vers la condition de matière la plus sûre cassent tous cette hypothèse. Un décalage de moyenne connu s'ajoute arithmétiquement et non en quadrature.
• Un niveau sigma commun. Chaque tolérance est le même multiple de son propre écart type, et vous indiquez lequel. Plus ou moins 0,1 à trois sigma et plus ou moins 0,1 à six sigma sont deux affirmations différentes sur le même nombre.
• Des contributeurs à peu près normaux, ou assez nombreux pour que leur somme le soit. Les pièces triées ou contrôlées à 100 % ont une distribution tronquée. La production multi-empreintes ou multibroche est multimodale. Les pièces fabriquées au calibre entre s'accumulent contre une limite.
• Aucun terme dominant. Si le plus grand terme au carré dépasse la moitié de la somme des carrés, l'assemblage hérite de cette seule pièce et l'argument de normalité est faible.

À quel point le RSS se trompe quand les hypothèses ne tiennent pas

Un cas chiffré rend la chose concrète. Prenez deux contributeurs de demi-tolérance égale dont les valeurs se répartissent uniformément entre leurs limites, ce que produit à peu près un procédé trié ou mal maîtrisé. Leur somme est triangulaire et non normale.

Le RSS classique place la demi-étendue à trois sigma à 1,414 fois la tolérance. La vraie demi-étendue centrale à 99,73 % de ce triangle vaut 1,896 fois la tolérance. Et la fraction des assemblages qui tombe hors de la bande RSS est de 8,58 %, et non les 0,27 % qu'implique l'hypothèse normale.

Cela fait un facteur d'environ trente sur le taux de rebut, dans le sens qui coûte de l'argent. Le calcul était juste du début à la fin. L'hypothèse de distribution ne l'était pas.

Mener une chaîne de cotes

1. Définissez la boucle. Partez d'une face du jeu, parcourez chaque pièce en contact et terminez à l'autre face. Listez chaque contributeur une seule fois.
2. Donnez un sens à chaque contributeur : plus si son augmentation ouvre le jeu, moins si elle le ferme, et une fraction quand une partie seulement de la cote entre dans la boucle.
3. Recentrez chaque contributeur sur une moyenne et une demi-tolérance symétrique à partir de ses limites inscrites. Faites-le même quand la tolérance paraît symétrique, pour que les tolérances dissymétriques ne passent pas entre les mailles.
4. Calculez le jeu moyen comme la somme signée des moyennes.
5. Calculez la demi-étendue au pire cas comme la somme des sensibilités en valeur absolue multipliées par les demi-tolérances. C'est votre borne.
6. Vérifiez vos signes. Recalculez le jeu maximal et le jeu minimal directement à partir des limites inscrites, sans recentrage, et confirmez que les deux voies concordent. Sinon, un signe ou une conversion est faux.
7. Déterminez si vous avez droit à un résultat statistique. Vérifiez le nombre de contributeurs, si l'un d'eux domine la variance et si vous disposez de preuves de capabilité pour chaque pièce.
8. Si c'est le cas, calculez la demi-étendue RSS et indiquez le niveau sigma qu'elle suppose. Sinon, arrêtez-vous au pire cas et dites-le.

• Faire ce calcul dans le calculateur

Choisir entre les deux

Prenez le pire cas par défaut, et toujours quand un seul assemblage non conforme est inacceptable. Cela couvre les ajustements critiques pour la sécurité, l'étanchéité, les prototypes, les montages unitaires, les petites séries, les pièces de rechange qui doivent rester interchangeables, et tout ce que vous ne pouvez ni retoucher ni appairer. Prenez-le aussi chaque fois que vous n'avez pas de données de procédé, et chaque fois que la boucle compte moins de quatre contributeurs environ.

Prenez le RSS en production de série, quand un rebut faible, chiffré et détectable est acceptable. Il faut aussi des preuves de capabilité sur chaque contributeur, ou un engagement du fournisseur sur une capabilité annoncée. Il est payant quand plusieurs contributeurs sont de taille comparable. Il ne rapporte presque rien quand un terme domine.

N'utilisez jamais le RSS en silence. Si la conception en dépend, le plan doit porter l'exigence de tolérancement statistique, car un fournisseur qui livre toutes ses pièces à une même limite est parfaitement conforme, et votre chiffre RSS n'a jamais été vrai.

Sur les normes, clairement

Aucune norme ne donne de procédure générale de chaîne de cotes. Cela vaut la peine de le savoir, car beaucoup de documents laissent entendre le contraire.

L'ISO 286-1 (NF EN ISO 286-1 en France) calcule les jeux d'ajustement arithmétiquement à partir des limites : le jeu maximal est la limite supérieure de l'alésage moins la limite inférieure de l'arbre. C'est une chaîne au pire cas sur une boucle à deux pièces, et c'est le seul élément normalisé de ce calcul. Ne l'étendez pas au-delà de deux pièces.

L'ASME Y14.5 définit le langage de cotation et de tolérancement ainsi que le sens des limites. Elle ne donne aucune formule de chaîne de cotes. Les méthodes présentées ici viennent de la pratique de l'ingénierie et des ouvrages de référence, notamment Mechanical Tolerance Stackup and Analysis de Fischer et le Dimensioning and Tolerancing Handbook de Drake.

Si quelqu'un cite une norme pour la chaîne de cotes RSS, demandez de quel article il s'agit. La réponse honnête est que cette pratique relève de l'usage et non d'une spécification.

• Choisir un ajustement : serré, incertain ou avec jeu

Une chaîne de cotes n'est pas un bilan d'incertitude

Les deux sont faciles à confondre, car tous deux combinent des contributeurs par la racine de la somme des carrés, et les ingénieurs qualité rencontrent l'un comme l'autre.

Une chaîne de cotes combine la variation permise des pièces pour prévoir la variation d'un assemblage. Un bilan d'incertitude de mesure combine des sources de doute sur une mesure pour dire avec quelle finesse vous connaissez une valeur, puis élargit le résultat par un facteur d'élargissement jusqu'à un niveau de confiance annoncé.

Une tolérance est une permission accordée à un procédé. Une incertitude est un énoncé sur la connaissance. Elles répondent à des questions différentes, et un nombre issu de l'une ne se reporte pas dans l'autre sans préciser duquel il s'agit.

• Calculateur de bilan d'incertitude de mesure
• Bande de garde et règles de décision

La place d'Axiospec

Axiospec ne calcule pas de chaînes de cotes. C'est un logiciel de gestion des étalonnages, et le calculateur de chaîne de cotes de ce site est un outil gratuit et autonome, sans compte derrière lui.

Le lien, c'est l'instrument qui effectue la mesure. Une chaîne de cotes vous dit de combien votre assemblage peut varier. Elle ne dit rien sur le fait que l'instrument qui le contrôle mesure toujours juste. Axiospec prend en charge ce volet : le statut d'étalonnage de chaque instrument, les relevés avant et après ajustage, et des bilans d'incertitude par instrument qui alimentent un rapport de capabilité (TUR).

Si votre chaîne de cotes laisse 0,05 mm de marge à une entité et que l'instrument qui la mesure porte une incertitude de 0,02 mm, la chaîne de cotes n'était que la moitié de l'analyse.