Análisis de acumulación de tolerancias: peor caso y RSS

Primero, cierra la cadena

Antes de cualquier cálculo, define la cadena. Va desde una cara de la holgura que te interesa, pasa por cada pieza que hace contacto por el camino y vuelve a la otra cara. Cada contribución entre esas dos caras aparece exactamente una vez. Nada que esté fuera de la cadena puede mover la holgura.

Da a cada contribución un sentido. Usa más cuando aumentar esa cota abre la holgura y menos cuando la cierra. Usa una fracción cuando solo entra en la cadena una parte de una cota, por ejemplo 0,5 para un radio tomado de un diámetro.

Una cadena incompleta es el fallo que ninguna aritmética cuidadosa puede arreglar. Si la dilatación térmica, el apriete, el espesor del recubrimiento o el aplastamiento de una junta mueven tu holgura, son contribuciones y tienen que estar en la lista.

Recentra cada contribución, incluidas las incómodas

Los dos métodos necesitan cada contribución expresada como una media y una semitolerancia igual. La media es el punto medio de los límites del plano. La semitolerancia es la mitad del intervalo entre ellos.

En una cota simétrica esto no cambia nada. En una desigual o unilateral lo cambia todo. Una cota de 50,000 +0,200 / -0,000 tiene una media de 50,100 y una semitolerancia de 0,100. Tratarla como 50,000 más o menos 0,200 hace que los dos números estén mal y desplaza toda la acumulación en un sentido.

Es el paso que más se saltan los cálculos a mano y, como desplaza el resultado en lugar de ensancharlo, produce una respuesta que parece razonable y no lo es.

Peor caso, el método aritmético

La holgura media es la suma con signo de las medias. El semiancho de peor caso es la suma de las sensibilidades en valor absoluto por las semitolerancias. La holgura va desde la media menos ese semiancho hasta la media más ese semiancho.

El peor caso es una cota real. Solo supone que cada pieza se mantiene dentro de sus límites declarados y que tu cadena está completa y con los signos correctos. No hace ningún supuesto sobre distribuciones ni sobre independencia, y por eso la correlación entre piezas no puede romperlo. Una cota sigue siendo una cota tanto si las contribuciones se mueven juntas como si no.

Lo que el peor caso no te dice es lo probable que es el extremo. En una acumulación de cinco piezas centradas e independientes, la probabilidad de llegar al peor caso es ínfima. El método nunca afirma lo contrario, así que nunca debería citarse con un porcentaje asociado.

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Raíz de la suma de cuadrados, el método estadístico

El semiancho RSS es la raíz cuadrada de la suma de las semitolerancias al cuadrado, ponderadas por su sensibilidad. Los signos desaparecen del término de tolerancia por el cuadrado, aunque siguen rigiendo la holgura media.

Funciona en dos pasos y solo uno de ellos es un supuesto. El primer paso es exacto: para variables aleatorias independientes, la varianza de una suma ponderada es la suma ponderada de las varianzas. El segundo paso es el supuesto: si cada tolerancia es el mismo múltiplo de su propia desviación típica, ese multiplicador común se cancela y puedes aplicar la raíz de la suma de cuadrados directamente a las tolerancias. Si los niveles sigma difieren entre contribuciones, la fórmula simple está mal.

No le digas a nadie que la aritmética falla sin normalidad. No falla. La normalidad hace falta para la afirmación del porcentaje, no para el álgebra.

Qué supone el RSS y cómo se rompe cada supuesto

Ninguno de estos puntos es un tecnicismo. Son la diferencia entre un número que puedes poner en un plano y un número que la primera tanda de producción va a contradecir.

• Independencia. No hay una causa común entre contribuciones. Falla con dos elementos mecanizados en una misma sujeción, piezas de una misma cavidad de molde, piezas de una misma barra de material, un mismo utillaje o cualquier cosa que dependa de una temperatura común.
• Procesos centrados. La media de cada proceso está en el centro de su tolerancia. El desgaste de la herramienta, el calentamiento de la máquina y un proveedor que se inclina hacia la condición de material más segura rompen este supuesto, y un desplazamiento conocido de la media se suma de forma aritmética y no en cuadratura.
• Un nivel sigma común. Cada tolerancia es el mismo múltiplo de su propia desviación típica, y tú indicas cuál. Más o menos 0,1 a tres sigma y más o menos 0,1 a seis sigma son afirmaciones distintas sobre el mismo número.
• Contribuciones aproximadamente normales, o suficientes como para que la suma lo sea. Las piezas seleccionadas o inspeccionadas al cien por cien están truncadas. La producción de varias cavidades o varios husillos es multimodal. Las piezas fabricadas contra un calibre pasa se amontonan contra un límite.
• Ningún término dominante. Si el mayor término al cuadrado supera la mitad de la suma de cuadrados, el conjunto hereda esa pieza y el argumento de la normal es débil.

Cuánto se equivoca el RSS cuando fallan los supuestos

Un caso resuelto lo hace concreto. Toma dos contribuciones de igual semitolerancia cuyos valores se reparten de forma uniforme entre sus límites, que es más o menos lo que produce un proceso seleccionado o poco controlado. Su suma es triangular y no normal.

El RSS clásico sitúa el semiancho a tres sigma en 1,414 veces la tolerancia. El semiancho real del 99,73 % central de ese triángulo es 1,896 veces. Y la fracción de conjuntos que cae fuera de la banda RSS es del 8,58 %, no del 0,27 % que implica el supuesto de normalidad.

Eso es un factor de unas treinta veces en la tasa de rechazo, en la dirección que cuesta dinero. La aritmética fue correcta en todo momento. El supuesto de distribución no.

Cómo hacer una acumulación

1. Define la cadena. Empieza en una cara de la holgura, recorre cada pieza que hace contacto y termina en la otra cara. Anota cada contribución una sola vez.
2. Da a cada contribución un sentido: más si al aumentar abre la holgura, menos si la cierra, y una fracción cuando solo entra en la cadena una parte de la cota.
3. Recentra cada contribución en una media y una semitolerancia igual a partir de los límites del plano. Hazlo incluso cuando la tolerancia parezca simétrica, para que las desiguales no se cuelen.
4. Calcula la holgura media como la suma con signo de las medias.
5. Calcula el semiancho de peor caso como la suma de las sensibilidades en valor absoluto por las semitolerancias. Esta es tu cota.
6. Comprueba los signos. Vuelve a calcular la holgura máxima y la mínima directamente desde los límites del plano, sin recentrar, y confirma que los dos caminos coinciden. Si no coinciden, hay un signo o una conversión mal.
7. Decide si tienes derecho a un resultado estadístico. Comprueba el número de contribuciones, si alguna domina la varianza y si tienes pruebas de capacidad de cada pieza.
8. Si lo tienes, calcula el semiancho RSS e indica el nivel sigma que supone. Si no, quédate en el peor caso y dilo.

• Hazlo en la calculadora

Cómo elegir entre ellos

Usa el peor caso por defecto, y siempre que un solo conjunto no conforme sea inaceptable. Eso cubre los ajustes críticos para la seguridad, la estanqueidad, los prototipos, las unidades únicas, las series cortas, los repuestos que tienen que ser intercambiables y cualquier cosa que no puedas reprocesar ni emparejar por selección. Úsalo siempre que no tengas datos del proceso y siempre que la cadena tenga menos de unas cuatro contribuciones.

Usa el RSS en la producción en serie cuando un rechazo pequeño, cuantificado y detectable sea aceptable, y cuando tengas pruebas de capacidad de cada contribución o un compromiso del proveedor con una capacidad declarada. Compensa cuando varias contribuciones son de tamaño parecido. No compensa casi nada cuando domina un término.

Nunca uses el RSS en silencio. Si el diseño depende de él, el plano tiene que llevar el requisito de tolerancia estadística, porque un proveedor que envía todas las piezas en un mismo límite cumple por completo, y tu número RSS nunca fue cierto.

Sobre las normas, claramente

No hay ninguna norma que dé un procedimiento general de acumulación de tolerancias. Conviene saberlo, porque mucho material da a entender lo contrario.

ISO 286-1 calcula las holguras de ajuste de forma aritmética a partir de los límites, donde la holgura máxima es el límite superior del agujero menos el límite inferior del eje. Eso es una acumulación de peor caso en una cadena de dos piezas, y es la única parte normalizada de esta aritmética. No la estires más allá de dos piezas.

ASME Y14.5 define el lenguaje de acotación y tolerancias y lo que significan los límites. No da fórmulas de acumulación. Los métodos que se explican aquí proceden de la práctica de ingeniería y de los libros de texto, en especial Mechanical Tolerance Stackup and Analysis, de Fischer, y Dimensioning and Tolerancing Handbook, de Drake.

Si alguien cita una norma para la acumulación RSS, pregúntale qué apartado. La respuesta honesta es que la práctica es una convención y no algo especificado.

• Cómo elegir un ajuste: a presión, de transición y con juego

Una acumulación de tolerancias no es un presupuesto de incertidumbre

Es fácil confundirlos porque los dos combinan contribuciones en raíz de la suma de cuadrados, y los ingenieros de calidad se encuentran con ambos.

Una acumulación de tolerancias combina la variación permitida de las piezas para predecir cómo variará un conjunto. Un presupuesto de incertidumbre de medida combina las fuentes de duda sobre una medición para declarar lo bien que conoces un valor, y después expande el resultado con un factor de cobertura hasta una confianza declarada.

Una tolerancia es un permiso que se concede a un proceso. Una incertidumbre es una afirmación sobre el conocimiento. Responden a preguntas distintas, y un número de una no se traslada a la otra sin decir a cuál te refieres.

• Calculadora de presupuesto de incertidumbre de medida
• Banda de guarda y reglas de decisión

Dónde encaja Axiospec

Axiospec no hace acumulaciones de tolerancias. Es un software de gestión de calibraciones, y la calculadora de acumulación de tolerancias de este sitio es una herramienta gratuita e independiente, sin ninguna cuenta detrás.

La conexión es el instrumento que mide. Una acumulación te dice cuánto puede variar tu conjunto. No dice nada sobre si el instrumento que lo comprueba sigue leyendo bien. Axiospec se ocupa de esa parte: el estado de calibración de cada instrumento, las lecturas como se encontró y como se dejó, y presupuestos de incertidumbre por instrumento que alimentan una relación de incertidumbre de prueba (TUR).

Si tu acumulación dice que un elemento tiene 0,05 mm de margen y el instrumento que lo mide tiene una incertidumbre de 0,02 mm, la acumulación era solo la mitad del análisis.